Me gustaría demostrar que $h_n(x) = \frac{n\sqrt{n}x}{1+n^2x^2} \leq \frac{1}{\sqrt{x}} = f(x)$ para cada número natural $n$ y para cada $x \in (0,1)$ . Es obvio cuando $n = 0$ como $h_0(x) = 0$ para cada $x \in (0,1)$ . Sin embargo, estoy luchando por demostrar que la desigualdad se mantiene para otras $n$ valores. He intentado jugar con $f(x)$ cambiando la desigualdad por $\frac{n\sqrt{n}x}{1+n^2x^2} \leq \frac{n^2\sqrt{x}x}{n^2x^2}$ pero no consigo nada. Cualquier ayuda será muy apreciada.
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mxian
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Generalicemos la desigualdad y dejemos que $n,x\in\mathbb{R}^+$ . Despejar denominadores para obtener $$n\sqrt{n}x\sqrt{x}\leq 1+n^2 x^2.$$ Si ahora dejamos que $t=nx$ tenemos que demostrar que para todos los reales $t>0$ la desigualdad $t\sqrt{t}\leq 1+t^2$ retenciones. Esto equivale a $$t^3\leq 1+2t^2+t^4\Leftrightarrow t^3(t-1)+2t^2+1\geq 0.$$ Obviamente, para $t\geq 1$ el lado izquierdo es positivo. Si $0<t<1$ Sin embargo, tenemos $0>t^3(t-1)>-1$ de modo que el lado izquierdo sea mayor o igual que $2t^2\geq 0$ . Por lo tanto, la desigualdad se demuestra para todo $n,x\in\mathbb{R}^+$ que incluye tu desigualdad como un caso especial.
Martin R
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Desigualdad de Young con $p=4$ y $q=4/3$ da $$ 1 \cdot (nx)^{3/2} \le \frac 14 + \frac 34 (nx)^2 < \frac 34 (1 + (nx)^2) $$ que da una estimación ligeramente mejor $$ \frac{n\sqrt{n}x}{1+n^2x^2} < \frac{3}{4\sqrt{x}} $$ para arbitraria $n, x > 0$ .
Despejando los denominadores, lo que intentas mostrar es $$(nx)^{3/2} \leq 1 + (nx)^2$$ Si $nx > 1$ y, a continuación, elevar $nx$ a un poder superior sólo lo agrandará, así que como ${3 \over 2} < 2$ se tiene $$(nx)^{3/2} < (nx)^2 < 1 + (nx)^2$$ Por otra parte, si $nx \leq 1$ entonces cualquier potencia de $nx$ es también como máximo $1$ por lo que tenemos $$(nx)^{3/2} \leq 1 < 1 + (nx)^2$$ De cualquier manera, la ecuación deseada se mantiene, así que hemos terminado.
