Prueba de propiedades límite

Question

Estoy repasando el capítulo tres del principio de análisis de Rudin y tengo problemas para seguir la demostración de la siguiente propiedad de Rudin $(3.3d)$ :

$\lim_{n \to \infty} 1/s_{n} = 1/s$ donde $\{s_{n}\}$ es una secuencia compleja que converge a $s$ .

Pf

Elegir $m$ tal que $|s_{n} - s| < \frac{1}{2}|s|$ si $n \geq m$ vemos que $$|s_{n}| > \frac{1}{2}|s|\ \ \ (n \geq m).$$ Dado $\varepsilon > 0$ existe un número entero $N > m$ tal que $n \geq N$ implica $$|s_{n} - s| < \frac{1}{2}|s|^{2}\varepsilon.$$ Así, para $n \geq N$ , $$\left|\frac{1}{s_{n}} - \frac{1}{s}\right| = \left| \frac{s_{n}-s}{s_{n}s}\right| < \frac{2}{|s|^{2}}|s_{n}-s| < \varepsilon$$ No sé si es la redacción, pero me cuesta entenderlo. Estoy confundido en cuanto a lo que $m$ está aquí, empezando por la primera declaración. Entonces tampoco estoy seguro de por qué si $n \geq m$ y, a continuación, la declaración. Agradeceríamos cualquier ayuda.

Answer 1

Desde $s_n\to s$ dada cualquier tolerancia (evito utilizar el término $\epsilon$ aquí para evitar confusiones más adelante), en este caso $\frac{1}{2}|s|$ podemos encontrar $m$ de forma que siempre que $n\ge m$ entonces $s_n$ está dentro de $\frac{1}{2}|s|$ de $s$ . Esta es la definición de $m$ . Entonces para $n\ge m$ ya que $s_n$ se encuentra dentro de la bola abierta de radio $\frac{1}{2}|s|$ de $s$ debe tener una magnitud estrictamente superior a $\frac{1}{2}|s|$ . Esta es la segunda afirmación sobre la que ha preguntado. La secuencia final de desigualdades surge de la siguiente manera: $$\left|\frac{s_n-s}{s_ns}\right| = \frac{|s_n-s|}{|s_ns|}.$$ Pero $|s_n-s|<\frac{1}{2}|s|^2\epsilon$ y $|s_ns| > \frac{1}{2}|s|^2$ (de la primera desigualdad), por lo que obtenemos $$\frac{|s_n-s|}{|s_ns|} < \frac{|s_n-s|}{|s|^2/2} = \frac{2}{|s|^2}|s_n-s| < \frac{2}{|s|^2}\cdot \frac{1}{2}|s|^2\epsilon = \epsilon.$$