Transferencia temporal de coordenadas propias a coordenadas: aparente desajuste entre la teoría de la relatividad especial y la general

Question

En SR hemos aprendido que la dilatación del tiempo para un observador que mueve el reloj respecto a uno fijo en un marco en reposo es

$$\tau = \gamma \tau_0 = \frac{\tau_0}{\left(1-v^2/c^2\right)^{1/2}}$$

ref: "Relatividad especial - A.P. French" y muchos otros

En este caso siendo gamma > 1, implica delta t < delta tau

Sin movernos a la RG, la expresión básica de partida para calcular el tiempo transcurrido en coordenadas a partir del tiempo propio para un reloj observador situado en un campo gravitatorio de masas y moviéndose con velocidad v respecto a un marco en reposo en el centro de masas del cuerpo es (aproximando la raíz cuadrada en primer orden para v << c)

$$\Delta t = \int_A^B \left(1+\frac 1 {c^2} U + \frac{1}{2c^2} v^2\right)d\tau$$

ref: "Transferencia de tiempo relativista - ITU-R TF.2118-0" y muchos otros

Observar que todos los términos de la integral son positivos, excluyendo también la presencia de gravedad (U=0), lo que significa que siempre resultaría delta t > delta tau

Se trata de un resultado opuesto a la expresión SR.

¿Puede alguien aclarar esta (aparente) contradicción? Gracias de antemano.

Answer 1

¿Puede alguien aclarar esta (aparente) contradicción?

Sólo es una nomenclatura diferente. No hay contradicción.

La ecuación francesa 4-5 es $$\tau = \gamma \tau_0 = \frac {\tau_0} {\left(1-v^2/c^2\right)^{1/2}}$$ Obsérvese que la ecuación 4-5 de French utiliza dos taus, $\tau$ y $\tau_0$ para representar la diferencia de tiempo entre dos acontecimientos medida por dos observadores diferentes. Este último ( $\tau_0$ ) representan la diferencia de tiempo medida por un observador en reposo con respecto a los dos sucesos. Los primeros ( $\tau$ ) representa la diferencia de tiempo medida por un observador que se mueve con respecto al observador estacionario.

Francés $\tau$ es el tiempo de coordenadas ( $\Delta t$ en nomenclatura más moderna) mientras que su $\tau_0$ es el tiempo propio ( $\Delta \tau$ en nomenclatura más moderna). Una forma más moderna de escribir la ecuación francesa 4-5 es la siguiente

$$\Delta t = \gamma \Delta \tau = \frac {\Delta \tau} {\left(1-v^2/c^2\right)^{1/2}}$$

Con esta reescritura modernizada es obvio que no hay contradicción.

Answer 2

Usando la aproximación bionomial, la ecuación de French es igual a: $$\tau = \gamma \tau_0 = \frac {\tau_0} {\left(1-v^2/c^2\right)^{1/2}}\approx{\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right)\tau_0}$$

La segunda ecuación introducida por usted, sustituyendo $U=0$ también implica: $$\Delta t\approx{\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right)\Delta\tau}$$

Creo que no hay contradicción.

@Gianni:

... el tiempo de coordenadas transcurrido desde el tiempo propio para un reloj observador situado en un campo gravitatorio de masa y que se mueve con velocidad $v$ en relación con un marco en reposo en el centro de masa corporal ...

Sin embargo, recuerda que un observador situado en el centro de un planeta mide que el reloj situado en la superficie del planeta funciona más rápido . Dudo que la frase en negrita no indique el observador de Schwarzschild sino el observador en el centro del planeta. Esto puede justificar la diferencia entre las dos ecuaciones si se piensa que $Δτ$ no coincide con $τ_0$ .