Límite de $(x^n/e^x)$ cuando x tiende a más infinito

Question

Estaba trabajando en esto y traté de resolverlo usando la ley de L'Hopital

PERO:

derivado en $x^n$ es decir , $g(x)=$ nx^(n-1) $ $ donde n no está definido en la pregunta,

no podemos decir que $g(x)$ tiende a más infinito o menos infinito .

Luego intenté ampliar el $e^x$ y estoy atascado, ¿alguien me puede explicar cómo hacerlo?

Muchas gracias.

Answer 1

Sin L'Hospital : con la serie de potencia de $\exp$ obtenemos para $x>0$ :

$e^x> \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}.$

Por lo tanto

$0 < \frac{x^n}{e^x}<\frac{(n+1)!}{x}.$

Answer 2

Si aplicas la Regla de L'Hopital $n$ veces se quedará con $\lim \frac {n!} {e^{x}}$ que es $0$ .

Answer 3

Desde $n$ es constante respecto al límite, basta con "sacarlo" y evaluar el límite que queda. Así, L'Hopital da

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x\to \infty} \frac{nx^{n-1}}{e^x} = n \lim_{x\to \infty} \frac{x^{n-1}}{e^x}$$

Al final hay que diferenciar $n-1$ más veces, pero después el resultado está claro.

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Por supuesto, esto es bajo la premisa $n$ es un número entero positivo, lo que asumo dada la naturaleza de tu pregunta. De lo contrario, esta estrategia no funcionaría tan bien y tendrías que recurrir a otros métodos para resolverlo. La asintótica funcionaría, ya que la exponencial crece más rápido que cualquier función polinómica.

Answer 4

Puede utilizar el hecho de que $$ \frac{x^n}{e^x}=\left(\frac{x}{e^{x/n}}\right)^{\!n}= n^n\left(\frac{y}{e^y}\right)^{\!n} $$ donde $y=x/n$ . Ni siquiera es necesario que $n$ es un número entero, siempre que sea positivo; entonces $$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^x}= \lim_{y\to\infty}n^n\left(\frac{y}{e^y}\right)^{\!n} $$ y habrás terminado cuando hayas demostrado que $$ \lim_{y\to\infty}\frac{y}{e^y}=0 $$ que es una simple aplicación de l'Hôpital (o con varios otros métodos).