¿Un anillo de coordenadas separa puntos?

Question

Sea $G$ sea un grupo algebraico lineal sobre $\mathbb C$ . ¿Es cierto que $\mathbb C [G]$ ¿separa puntos?

Dado que es casi como un anillo polinómico y es un anillo de coordenadas esto debería ser fácil porque no hay 2 puntos deben tener las mismas coordenadas, pero me estoy preguntando.

Gracias.

Answer 1

Esto no tiene nada que ver con $G$ siendo un grupo, para cualquier variedad algebraica afín $X$ en $\Bbb C$ el anillo de coordenadas $\Bbb C[X]$ separa los puntos. Esto se debe simplemente a que puede incrustar $X\subseteq\Bbb A^n$ en algún espacio afín, y para dos puntos cualesquiera $p,q\in X$ encontrarás un polinomio $f\in\Bbb C[x_1,\ldots,x_n]$ con $f(p)=0$ y $f(q)\ne0$ . Entonces, $f|_X\in\Bbb C[X]$ tendrá la misma propiedad.