¿Existe algún ejemplo de conjunto con la operación "suma" que no sea conmutativo?

Question

Me preguntaba si existe alguna estructura matemática (ni siquiera estoy seguro de que esta sea la forma correcta de nombrar lo que tengo en mente) pero básicamente, cualquier conjunto, junto con la operación suma, (no digo sólo un grupo, ya que en mi ignorancia puedo estar pasando por alto algunos otros ejemplos potenciales de mi duda) que sea no conmutativa?

Básicamente, estaba pensando en las operaciones habituales que uso para manejar, suma, producto o composición de funciones, y tanto con la composición de funciones como con el producto, es fácil encontrar un ejemplo de conjuntos no conmutativos (respecto a esas operaciones), sin embargo, no he sido capaz de pensar un ejemplo para la suma. ¿Hay alguno? ¿Tiene algún sentido?

Answer 1

Tomemos el conjunto de 2 elementos $\{a, b\}$ junto con la multiplicación definida por $aa = ab = a$ , $bb = ba = b$ . En realidad, este es uno de los dos ejemplos más pequeños de un no conmutativo semigrupo .

Si desea un ejemplo concreto, considere las dos matrices $a= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $b= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ bajo el producto habitual de matrices.

Answer 2

La concatenación "parece" una suma, pero no es conmutativa.

Answer 3

En el libro de Topología Algebraica de Hatcher el símbolo $+$ se utiliza para la operación binaria en $\pi_n(X,A,x_0)$ para $n>1$ donde $X$ es un espacio topológico y $A$ es un subespacio. La mayoría de las veces esta operación es conmutativa, pero si $n=2$ no tiene por qué serlo cuando $A$ tiene más de un punto, y creo recordar una fórmula en el libro como $$a+b-a$$ Significado $b$ conjugado por $a$ en un grupo homotópico relativo no abeliano.