Ahora $$ f(x)=x^3+x^22x+8 $$ y, $K$ sea el campo de división de $f(x), O_K$ sea el anillo de enteros de la misma.entonces $$(2)=P_1P_2P_3\iff f(x) \text{ has three roots in } \mathbb{Q}_2$$ Por supuesto $P_i$ significa diferente ideal primo de $O_K$ . No entiendo este equivalente y donde aparecen.
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pisco125
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Para el campo numérico $K/\mathbb{Q}$ si $p$ se descompone en $\mathcal{O}_K$ como $(p)=\mathfrak{p}_1^{e_1}\cdots \mathfrak{p}_g^{e_g}$ entonces $$\begin{aligned}\mathcal{O}_K \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}_p &= \lim_{\longleftarrow} \mathcal{O}_K \otimes_\mathbb{Z} \frac{\mathbb{Z}}{p^n\mathbb{Z}}\\ &=\lim_{\longleftarrow} \frac{\mathcal{O}_K}{p^n\mathcal{O}_K} = \lim_{\longleftarrow} \frac{\mathcal{O}_K}{\mathfrak{p}_1^{ne_1}\mathcal{O}_K}\times\cdots\times\frac{\mathcal{O}_K}{\mathfrak{p}_g^{ne_g}\mathcal{O}_K} \\&= \mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}_1}\times \cdots \times \mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}_g}\end{aligned}$$ Tensando ambos lados por $\mathbb{Q}$ da $K\otimes_\mathbb{Q} \mathbb{Q}_p = K_{\mathfrak{p}_1}\times\cdots\times K_{\mathfrak{p}_g}$ donde $K_{\mathfrak{p}}$ significa finalización en ese primer momento. Si $K$ se define por $f\in \mathbb{Q}[x]$ entonces $$K\otimes_\mathbb{Q} \mathbb{Q}_p = \frac{\mathbb{Q}[x]}{(f)}\otimes_\mathbb{Q} \mathbb{Q}_p = \mathbb{Q}_p[x]/(f)$$ RHS es un producto de un número de campos, que es igual al número de factores irreducibles de $f$ en $\mathbb{Q}_p$ . Por el isomorfismo anterior, es igual al número de primos situados por encima de $p$ . Su afirmación es la siguiente.
