Cómo calcular las condiciones iniciales para integrar una geodésica nula

Question

Supongamos que este es el l $$ ds^2 = -[1 + 2(t,x_i)]dt^2 + a^2(t) [1 - 2(t,x_i)]dx_i^2 $$ y la ecuación geodésica es, $$ \frac{d^2x^}{d^2} = - _{}^ \frac{dx^}{d} \frac{dx^}{d} $$ donde es el parámetro afín. De nuevo, para la geodésica nula podemos escribir

$$ ds^2 = 0 $$ Ahora bien, si quiero resolver esta ecuación geodésica nula sé que primero tengo que convertir las cuatro ecuaciones diferenciales de segundo orden en ocho ecuaciones de primer orden y luego cualquiera puede resolverla fácilmente utilizando cualquier herramienta matemática. En realidad, mi preocupación es acerca de las condiciones iniciales, ¿cómo puedo establecer las condiciones iniciales para resolver esta ecuación geodésica nula, es decir, ¿cuáles serán las condiciones iniciales aquí para x0, y0, z0 y para las cuatro velocidades, \$ $ \frac{dt0}{d}, \frac{dx0}{d}, \frac{dy0}{d}, \frac{dz0}{d}$ respectivamente, supongamos que la condición inicial para el tiempo es hoy, lo que significa que quiero integrar la ecuación geodésica desde hoy, es decir, el desplazamiento al rojo es cero.

Answer 1

Tu pregunta tiene dos partes: la matemática y la física. En lo que sigue, un punto significará una derivada con respecto a $\lambda$ .

Matemáticas

Tiene, en principio, ocho números para especificar: $(t_0, x_0, y_0, z_0, \dot{t}_0, \dot{x}_0, \dot{y}_0, \dot{z}_0)$ . Las posiciones iniciales y el tiempo son sólo cuatro números que tienes que elegir, pero las velocidades son un poco más sutiles. Esto se debe a que las cuatro velocidades en todo momento deben satisfacer $g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu = 0$ . Esto permite resolver un componente en función de los otros tres: normalmente especificamos las velocidades espaciales y resolvemos para $\dot{t}_0$ ya que esto va con nuestra idea intuitiva de decir la dirección en la que se mueve la partícula.

Sin embargo, con las geodésicas nulas hay un paso más. Puesto que podemos reparametrizar $\lambda \to a \lambda + b$ manteniendo la condición nula $g_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu = 0$ invariante, multiplicando todo el vector $\dot{x}^\mu$ por una constante nos da un vector físicamente equivalente. Esto significa que en realidad tenemos dos grados de libertad: uno del $\dot{x}^i_0$ pueden fijarse arbitrariamente, y sólo las otras dos tienen significado físico. Una forma sencilla de resolver este problema es utilizar coordenadas esféricas. Hay varias formas de hacerlo, pero la más sencilla es pretender que $\dot{x}^i_0$ son los componentes de un vector euclídeo 3D regular y utilizan la conversión habitual. Así, $\theta$ y $\varphi$ son las cantidades físicamente significativas, y $r$ es irrelevante (ajústelo a $1$ o lo que sea).

En resumen, una geodésica nula sólo tiene en realidad seis grados de libertad: las cuatro componentes de la posición espacio-temporal y dos números que especifican la dirección de la tres-velocidad. Las simetrías pueden hacer que algunos de ellos sean irrelevantes: por ejemplo, en un espacio-tiempo estacionario todos los valores de $t_0$ dan la misma curva.

Física

Puede que aún te estés preguntando, pero ¿qué condiciones iniciales pongo? El problema es que no existen las el condiciones iniciales. Esto no tiene nada que ver con la RG. Supongamos, por ejemplo, que tenemos un viejo suelo de madera. Ha entrado humedad por todas partes, de modo que el suelo está lleno de baches, más alto en algunos sitios y más bajo en otros. Ahora te preguntas: "si hago rodar una pelota por este suelo, ¿cuál será su trayectoria?". Bueno, no podemos responder a eso. Nos falta información: desde dónde lanzas la pelota y en qué dirección. La pelota puede tomar todo tipo de caminos posibles.

Lo mismo ocurre en tu espaciotiempo. No es homogéneo ni isótropo, por lo que la trayectoria de un fotón depende de desde dónde (y cuándo) lo dispares, además de su dirección. Puede que te estés confundiendo porque los ejemplos que aprendemos primero tienen mucha simetría. Si tomamos por ejemplo la solución de Schwarzschild, que es estacionaria y esféricamente simétrica, podemos eliminar un montón de grados de libertad, y el resultado es que un fotón en realidad sólo tiene dos: el radio inicial y el momento angular (o parámetro de impacto). Cambiar cualquiera de las otras condiciones iniciales sólo da una versión rotada y/o trasladada en el tiempo de la trayectoria. Este no es el caso aquí; sin simetrías, los seis números son necesarios.

La única respuesta que puedo dar es que necesitas definir mejor por qué quieres integrar las ecuaciones. ¿Intentas hacerte una idea de las posibles trayectorias de los fotones? Entonces lo mejor es que elijas algunos valores diferentes y veas qué ocurre.