Expansión de Taylor de una matriz con varias variables

Question

$$ G(x,y,t)=e^{- x \pmatrix{1&0 \\0&-1} - y \pmatrix{0&1\\1&0} - t\pmatrix{0&-1\\1&0} } $$

donde $x,y,t \in \mathbb{R}$ .

Me gustaría expandir Taylor G alrededor de un cambio infinetisimal de x,y,t.

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En el caso unitario:

$$ U(t)=e^{-itH} $$

el resultado es

$$ U(\delta t) = 1- i\delta t H $$

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Pero, ¿cómo calcularlo para múltiples variables simultáneamente?

¿Qué es la $G(\delta x, \delta y, \delta t)$ ?

Answer 1

Llame a

$$ Z = -x \pmatrix{1 & 0 \\0 & -1} - y \pmatrix{0 & 1 \\1 & 0} - t \pmatrix{0 & -1 \\1 & 0} $$

por lo que su problema se convierte en

$$ e^Z = 1 + Z + \frac{Z^2}{2} + \cdots $$

si desea mantener hasta términos lineales (como en su ejemplo), entonces

$$ G\approx 1 + Z = 1 -\delta x \pmatrix{1 & 0 \\0 & -1} - \delta y \pmatrix{0 & 1 \\1 & 0} - \delta t \pmatrix{0 & -1 \\1 & 0} $$