$\mathbb{R}$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}$

Question

Pregunta: Demuestre que $\mathbb{R}$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}$ .

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$\mathbb{R}\setminus \mathbb{R}=\left \{ x \in \mathbb{R} \mid x\notin\mathbb{R} \right \}.$

Necesito demostrar que $\forall x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{R}, \exists \epsilon >0$ s.t $B_{\epsilon }\left ( x \right )\subseteq \mathbb{R}\setminus \mathbb{R}$ .

Pero, el complemento de $\mathbb{R}$ no tiene sentido. O mejor dicho, para que tenga sentido, debe ser un conjunto vacío.

Answer 1

Creo que no estás familiarizado con el concepto de "verdad vacua". Si dices "Todo elemento del conjunto vacío tiene la propiedad X", esa afirmación es automáticamente verdadera, ¡ya que no existe ningún elemento del conjunto vacío! A esto se le llama una afirmación vacuamente verdadera. $\mathbb{R}$ \ $\mathbb{R}= \emptyset$ . ¿Puedes demostrar ahora el teorema?

Como nota al margen, no deberías usar esto para demostrar el teorema pero se requiere de cualquier espacio topológico $Y$ que $Y$ cerrarse.

Answer 2

Una frase que comienza por $\forall x\in\emptyset$ es siempre verdadera (¡porque no se puede encontrar ningún contraejemplo!). Así pues, $\Bbb R\setminus\Bbb R=\emptyset$ está abierto en $\Bbb R$ y así $\Bbb R$ está cerrado en sí mismo.