Definamos con precisión lo que se entiende por "mejor predicción". Supongamos que tenemos una moneda de referencia, cuya probabilidad de salir cruz es exactamente $p = 0.7$ . Además, imaginemos que empleamos una estrategia de apuestas que incluye el lanzamiento independiente de una segunda moneda "de estrategia", cuya probabilidad de salir cruz es $\theta$ para algunos $\theta \in [0,1]$ que somos libres de elegir, y que "ganamos" cuando el resultado de los lanzamientos de ambas monedas coincide; es decir, ambas monedas salen cara, o ambas monedas salen cruz. Perdemos si las monedas no coinciden.
La pregunta que se nos plantea, pues, es "¿cuál de las dos estrategias? $\theta = 0.5$ o $\theta = 0.9$ produce una mayor frecuencia esperada de victorias?". Esto es fácil de responder: Si $X_1$ es el resultado de la moneda de referencia y $X_2$ el resultado de la moneda de la "estrategia", entonces claramente $X_1, X_2$ son variables aleatorias Bernoulli independientes con $$X_1 \sim \operatorname{Bernoulli}(p = 0.7), \\ X_2 \sim \operatorname{Bernoulli}(p = \theta).$$ La expectativa deseada es igual a $$\begin{align*} \Pr[X_1 = X_2] &= \Pr[X_1 = 0 \mid X_2 = 0]\Pr[X_2 = 0] + \Pr[X_1 = 1 \mid X_2 = 1]\Pr[X_2 = 1] \\ &= \Pr[X_1 = 0]\Pr[X_2 = 0] + \Pr[X_1 = 1]\Pr[X_2 = 1] \\ &= (1-p)(1-\theta) + p\theta \\ &= 0.3(1-\theta) + 0.7 \theta \\ &= 0.3 + 0.4\theta. \end{align*}$$ Se deduce inmediatamente que esta probabilidad es mayor cuando $\theta = 0.9$ que cuando $\theta = 0.5$ Por lo tanto, la segunda estrategia, que equivale a apostar a "cruz" 9 de cada 10 veces, produce una mayor frecuencia esperada de concordancia con la moneda de referencia que apostar por igual a cara que a cruz. De hecho, vemos que siempre seleccionar las colas es la mejor estrategia de todas, con una proporción esperada de acuerdo que es $p = 0.7$ . Y puede parecer extraño al principio, pero esto incluso supera lo que inicialmente podríamos pensar como la estrategia adecuada de seleccionar $\theta = 0.7$ que en realidad hace peor que cualquier $\theta > 0.7$ .
Un poco más de reflexión revelará por qué esto es intuitivamente cierto.
