La fórmula de Itô: Diferencial de la forma

Question

He empezado un curso de matemáticas financieras y estoy actualmente se está introduciendo a stochastical análisis, spesifically la fórmula de Itô. Del libro:

A veces es útil el uso de la siguiente versión corta de [la fórmula de Itô]: $$ \mathrm{d}f(t,X(t)) = \dfrac{\partial f(t,X(t))}{\partial t}\mathrm{d}t + \dfrac{\partial f(t,X(t))}{\partial x}\mathrm{d}X(t) +\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2 f(t,X(t))}{\partial x^2}(\mathrm{d}X(t))^2 $$ together with the calculation rules $ (\mathrm{d} t)^2 =0,\ \mathrm{d}t\mathrm{d}B(t) = \mathrm{d}B(t),\mathrm{d}t = 0 \text{ y } (\mathrm{d}B(t))^2 = \mathrm{d}t$

$f(t,x)$ es una función dos veces derivable en a $t$ y dos veces en $x$. $X(t)$ es un semimartingale. La definición de un semimartingale utilizado en el libro (en caso de que haya varias definiciones)

El proceso estocástico $X(t)$ es un semimartingale si existe dos Itô integrable procesos estocásticos $Y(t)$ $Z(t)$ tal que $$ X(t) = x + \int_0^t Y(s) \mathrm{d}B(s) + \int_0^t Z(s)\mathrm{d}s $$

Estoy teniendo un momento difícil con la comprensión de esta versión abreviada de la fórmula de Itô. La razón de esto es que no estoy familiarizado con estos diferencial de los términos de (nombre?) de tipo $\mathrm{d}t$ otros que en la clásica de la integral. Estas "reglas de cálculo" que el autor habla de son enteramente griego para mí. ¿Cómo debo pensar en estos términos?

Cualquier escrito, preferentemente en línea, recursos de la explicación de estos términos para un recién llegado también es apreciado.

Answer 1

La fórmula inicial puede ser pensado como una expansión de Taylor a segunda orden. Las reglas pueden ser entendidas en el marco de las sumas de Riemann. Un integrante $dB$ en suma forma se parece a:

$$\sum f_i (B_{i+1}-B_i).$$

Un integrante $dt$ en suma forma se parece a

$$\sum f_i (t_{i+1}-t_i).$$

Un integrante $(dB)^2$ en suma forma se parece a

$$\sum f_i (B_{i+1}-B_i)^2.$$

Un integrante $dt dB$ en suma forma se parece a

$$\sum f_i (t_{i+1}-t_i)(B_{i+1}-B_i).$$

Por último integrante $(dt)^2$ en suma forma se parece a

$$\sum f_i (t_{i+1}-t_i)^2.$$

Cuando se deriva de Ito fórmula, puede probar dos cosas. Uno es bastante trivial: la cuarta y la quinta tipos de sumas convergen a cero como se refinar la malla. Esto es debido a que, si el paso de tiempo, el tamaño de la es $h$, entonces no se $O(1/h)$ términos en la suma y la sumandos son $o(h)$. El otro es bastante trivial: el tercer tipo de suma converge, no de cero, sino una parte integral del segundo tipo.

Podemos reformular estas dos observaciones de forma heurística diciendo que $(dB)^2=dt$ y nada de orden superior de $dt$ es cero.

Por cierto, Radicalmente Elemental de la Teoría de la Probabilidad (esto se vincula a un pdf del libro de la página web del autor), Nelson muestra que uno puede decir cosas como $dB=\pm \sqrt{dt}$ rigurosamente en el marco de hyperreal-tipo de análisis no estándar. En el análisis estándar del lenguaje, lo que equivale a decir que si $D_k$ son iid variables misma probabilidad de ser $+1$ o $-1$, luego

$$B(t) = \lim_{h \to 0^+} \sum_{k=1}^{\left \lfloor \frac{t}{h} \right \rfloor} \sqrt{h} D_k.$$

Answer 2

Una forma simplificada de pensar acerca de esto es interpretar la ecuación como diciendo: ¿qué ocurre aproximadamente en el valor en el lado izquierdo cuando el tiempo avanza un poco.

Si el momento actual es $t$ y un intervalo muy corto de tiempo $\Delta t$ pasa, entonces, el valor de $f(t,X(t))$ va a cambiar , aproximadamente, por la cantidad

$$ \dfrac{\partial f(t,X(t))}{\partial t}\Delta t + \dfrac{\partial f(t,X(t))}{\partial x}\Delta X(t) +\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2 f(t,X(t))}{\partial x^2}(\Delta X(t))^2. $$

Tenga en cuenta que esta aproximación consiste en aproximar $\Delta X(t)$, es decir, cómo el proceso de $X$ cambios entre el$t$$t+\Delta t$. Esto depende de cómo el proceso de $X$ está definido.

Si el proceso de $X$ se define en términos de tiempo y un proceso Browniano, por ejemplo

\begin{align} \mathrm dX(t) &= \mathrm d t + \sigma \mathrm d B(t) \\ \overset{\int_0^t} \implies X(t) - X(0) &= t + \sigma B(t),\end{align}

a continuación, $\Delta X(t)$ dependerá $\Delta t$$\Delta B(t)$, por lo que usted encontrará productos de la forma$\Delta t \Delta B(t), \Delta t ^ 2$$\Delta B(t)^2$, mientras que tratando de encontrar a $\Delta X(t)^2$.

La expresión $\Delta t \Delta B = 0$ dice que descartar que alguno de los términos que contengan $\Delta t \Delta B$ en el cálculo de $\Delta X(t)$. Del mismo modo, las otras relaciones dirá cómo deshacerse de los otros "productos de las diferencias".

La justificación matemática de esto es que en el límite cuando $\Delta t \to 0$ (que se puede tomar a la hora de integrar) los productos se comportan igual que sus más simples formas alternativas. Es decir, $\Delta t^2$ $\Delta t \Delta B$ a ser insignificante y, sorprendentemente, $\Delta B^2$ se comporta como $\Delta t$.