Ecuación integral Límites desconocidos

Question

¿Cómo se llama una ecuación en la que la incógnita es uno de los límites de la integración? ¿Existe una teoría que estudia tales ecuaciones, métodos estándar de solución?

El ejemplo más sencillo es la ecuación que define a m $\int_{-\infty}^x f(y)dy = 0.5 $ , donde $x$ es la incógnita.

Answer 1

Otra vez. Estaba muy cansado cuando hice la pregunta, la respuesta es trivial

$ \int_a^b f(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a) $ donde $\Phi(x) = \int f(x) dx $ es la integral definida correspondiente.

Así que el problema se reduce a ser capaz de calcular una integral definida, y luego ser capaz de resolver la ecuación ordinaria resultante.

Answer 2

Es necesario aplicar ciertos métodos numéricos para determinar aproximadamente el valor del límite. Definir, \begin{equation} h(x) = 0.5 - \int_{-\infty}^{x} f(z) dz \end{equation} Ahora todo lo que tienes que hacer es aplicar el algoritmo Newton-Raphson o cualquier otro algoritmo estándar de búsqueda de raíces para averiguar el valor de $x$ que puede hacerse de la siguiente manera.

1. Empieza con una suposición inicial $x_{0}$
2. Proceder iterativamente utilizando $x_{n+1} = x_{n} + \frac{0.5 - \int_{-\infty}^{x_{n}} f(x) dx}{f(x_{n})}$
3. Detener las iteraciones cuando $|x_{n+1} - x_{n}| < \epsilon $ donde $\epsilon$ es especificado por el usuario.

El proceso anterior proporcionaría una aproximación razonablemente cercana al valor requerido de $x$ .