Demostrar por inducción o de otro modo que $$\int_0^{\pi/2} \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x}dx=\frac\pi2$$ para cada número entero $n\ge0$ .
¿Cómo demostrar la pregunta anterior?
¿Puede demostrarse sin utilizar la inducción?
Respuestas
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Arash
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Para $n=0$ la igualdad es trivial. A continuación, tenga en cuenta que: $$ \int_0^{\frac\pi2} \frac{\sin(2n+3)x}{\sin x}dx=\int_0^{\frac\pi2} \frac{\cos 2x\sin(2n+1)x}{\sin x}dx+\int_0^{\frac\pi2} \frac{\sin 2x\cos(2n+1)x}{\sin x}dx $$ Y utiliza $\cos 2x=1-2\sin^2x$ y $\sin2x=2\cos x\sin x$ . Usted consigue: $$ \int_0^{\frac\pi2} \frac{\sin(2n+3)x}{\sin x}dx=\int_0^{\frac\pi2} \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x}dx-2\int_0^{\frac\pi2} \cos(2n+2)x dx. $$ Ahora no es difícil ver que $\int_0^{\frac\pi2} \cos(2n+2)x dx=0$ . Esto constituirá el paso de inducción.
Sea $$I_n = \int_0^{\pi/2} \dfrac{\sin(2n+1)x}{\sin(x)}dx$$ Entonces tenemos $$I_{n+1} - I_n = \int_0^{\pi/2} \dfrac{2 \sin(x)\cos(2(n+1)x)}{\sin(x)} dx = 2\int_0^{\pi/2} \cos(2(n+1)x) dx = 0$$ para $n \neq -1$ . Por lo tanto, $$I_n = I_0 = \dfrac{\pi}2$$ En esencia, estamos diciendo que $\dfrac{dI_n}{dn} = 0$ donde la derivada debe interpretarse en sentido discreto y concluyendo que $I_n$ debe ser una constante.
