Vuelva a escribir $\|AXBd -c \|^2$ como $\|Qx -c \|^2$ para resolverlo utilizando solucionadores estándar

Question

Necesito resolver un problema cuadrático que he formulado como $\|AXBd -c \|^2$ donde $X$ es una matriz de incógnitas y $A$ , $B$ matrices cuadradas constantes y $d$ un vector de constantes.

¿Cómo puedo reescribir este problema para obtener un sistema del tipo $\|Qx -c \|^2$ para introducirlo en los solucionadores estándar de programación cuadrática?

Answer 1

Denotando por $\operatorname{vec}:\mathbb{R}^{m\times n} \rightarrow \mathbb{R}^{mn}$ el operador que transforma un $m\times n$ en un vector columna de $mn$ elementos "apilando" las columnas de la matriz, se mantiene

$$ \operatorname{vec}(\mathbf{L} \mathbf{X} \mathbf{R}) = \left(\mathbf{R}^T \otimes \mathbf{L} \right) \operatorname{vec}(\mathbf{X}), $$ donde $\mathbf{X}, \mathbf{L}, \mathbf{R}$ son matrices de dimensiones adecuadas (no necesariamente cuadradas) y $\otimes$ es el Producto de Kronecker .

Utilizando el resultado anterior, la expresión cuadrática puede escribirse como

$$ \|\mathbf{AXBd}-\mathbf{c}\|^2=\|\left((\mathbf{Bd})^T \otimes \mathbf{A} \right) \operatorname{vec}(\mathbf{X})-\mathbf{c}\|^2. $$