¿Es cierto el teorema de Pitágoras para un conjunto infinito de vectores?

Question

Sea $H$ sea un espacio de Hilbert. Consideremos una colección de vectores ortogonales $\{x_n\}_{n=1}^{k}$ . Sabemos que $$\left\|\sum_{n=1}^{k}x_n\right\|^2=\sum_{n=1}^{k}\|x_n\|^2$$

Consideremos ahora una colección infinita de vectores ortogonales $\{y_n\}_{n=1}^{\infty}.$ ¿Es cierto que $$\left\|\sum_{n=1}^{\infty}y_n\right\|^2=\sum_{n=1}^{\infty}\|y_n\|^2$$

Answer 1

\begin{align} \left\|\sum_{n=1}^{\infty}y_n\right\|^2 &=\left\langle\sum_{n=1}^{\infty}y_n,\sum_{k=1}^{\infty}y_k\right\rangle\\&=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\left\langle y_n,y_k\right\rangle\\&=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\left\langle y_n,y_k\right\rangle\delta_{k,n}\\&=\sum_{n=1}^{\infty}\left\langle y_n,y_n\right\rangle\\&=\sum_{n=1}^{\infty}\|y_n\|^2. \end{align}