Sea $(X, \mathcal{T})$ sea un espacio topológico, y $\mathcal{C} \subset \mathcal{P}(X)$ sea una cubierta de $X$ totalmente ordenado por inclusión.
En $\mathcal{C}$ determine $\mathcal{T}$ ?
Es decir, si $U \subset X$ y $U \cap C \in \mathcal{T}|C$ para cada $C \in \mathcal{C}$ ¿ $U \in \mathcal{T}$ ? Aquí $\mathcal{T}|C$ es la topología del subespacio en $C$ .
No, considere $X = \mathbb N$ y la topología cofinita $\mathcal T = \{ A : |\mathbb N \setminus A| < \infty\}$ . Sea $\mathcal C = \{ \{1, \dots, n\} | n \in \mathbb N\}$ . Claramente $\mathcal C$ es una cubierta y totalmente ordenada. Pero afirmo que cualquier conjunto $U$ satisface su propiedad, ya que la topología inducida en cada $\{1, \dots, n\}$ es la topología discreta.
Si por supuesto asume que $\mathcal C$ es un abra cubierta, entonces su afirmación es cierta, ya que $U = \bigcup_{C \in \mathcal C} C\cap U$ es una unión de conjuntos abiertos, por lo tanto abierta.
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