¿Extensión de codominio?

Question

Supongamos que me dan una función $f:A\to B$ donde ambos $A$ y $B$ son conjuntos abiertos de $\mathbb{R}$ (o para el caso, de cualquier espacio vectorial $V$ ).

¿Puedo, sin pérdida de generalidad, ver $f$ como codominio $\mathbb{R}$ ?

Hay muchas razones para esta pregunta:

1. Si el codominio es $\mathbb{R}$ entonces puedo sumar funciones puntualmente y tener una estructura de espacio vectorial sobre el espacio de funciones. Sin embargo, si el codominio es pas un espacio vectorial, no puedo sumar las funciones puntualmente.

2. Esta pregunta viene de la definición de un colector, donde tengo gráficos $h_i:U_i \to h_i(U_i)$ y existe un homeomorfismo entre el conjunto abierto $U_i\subset M$ ( $M$ es una variedad diferenciable) y $h_i(U_i)\subset \mathbb{R}^n$ . Me preguntaba si podría ver $h_i:U_i \to \mathbb{R}^n$ para que, por ejemplo, pueda realizar transformaciones lineales en el $h_i$ 's.

3. Por último, la definición del diferencial:

   Una función $F:A\to W$ con $A$ conjunto abierto de un espacio lineal normado $V$ y $W$ un espacio lineal normado se denomina diferenciable en $a$ si existe $T\in Hom(V,W)$ tal que $\Delta_aF(x)=T(x)+\mathcal{o}$ .

Esta definición sólo considera funciones cuyo codominio es un espacio vectorial, ¿qué ocurre en el caso de que el codominio sea también un conjunto abierto, es decir, no un espacio vectorial?

Answer 1

Aunque el alcance de la función, es decir, su imagen $Im(f)$ no tiene estructura de espacio vectorial, sino que está contenido en un espacio lineal normado $W$ (como por ejemplo $\mathbb{R^n}$ como en el caso de los gráficos de un $n$ -Se puede elegir como codominio este espacio lineal normado y considerar la función $$f:A\rightarrow W$$ que podría no ser suryectiva y llamarla $f$ de nuevo. El conjunto de funciones con operación puntual hereda la estructura del espacio vectorial, Se pueden realizar transformaciones lineales sobre gráficos y la definición de la diferencial sigue teniendo sentido. No es necesario suponer que el rango de la función tiene una estructura de espacio vectorial. Basta con que esté contenido en algún espacio lineal normado.