teorema del residuo con función logarítmica

Question

Tengo problema integrando función con logaritmo. Los problemas parecen ser siempre corte de rama de $\log$ pero creo que aquí es diferente.

Tengo la tarea de integrar $$\oint_{|z| = 1} \! dz \log\left(\frac{z - a}{z - b}\right)$$ dado $|a| < 1$ y $|b| < 1$

En primer lugar creo que para comprobar los puntos de ramificación de logaritmo. Escribo $$\log\left(\frac{z - a}{z - b}\right) = \log(z - a) - \log(z - b)$$ Dando vueltas $a$ en pequeño círculo recojo término $2\pi i$ , dando vueltas $b$ Recojo término $-2\pi i$ así que dando vueltas alrededor de ambos no recojo nada. Así que hago corte de rama $a$ a $b$ y el contorno no se cruzan.

Pero ahora estoy atascado. Intento encontrar el residuo de la integral en $a$ y $b$ pero no puedo conseguir series de en $a,b$ porque el logaritmo siempre queda dentro. ¿Cómo puedo evaluar tales integrales?

Answer 1

MÉTODO 1:

Para los puntos de bifurcación en $z=a$ y $z=b$ elegimos cortes de bifurcación como contornos de línea recta que comienzan en los puntos de bifurcación e intersecan el círculo unitario en $e^{i\phi_a}$ y $e^{i\phi_b}$ y luego se extiende hasta el punto en el infinito. Nótese que estos cortes de rama no son únicos.

Ahora, dejemos que $z=e^{it}$ . Entonces, tenemos

$$\begin{align} \oint_{|z|=1} \log(z-a)\,dz &= \int_0^{\phi_a^-}\log(e^{it})ie^{it}\,dt+ \int_{\phi_a^+}^{2\pi}\log(e^{it})ie^{it}\,dt\\\\ &=\left.\left((e^{it}-a)\left(\log(e^{it}-a)-1\right)\right)\right|_{0}^{\phi_a^-}+\left.\left((e^{it}-a)\left(\log(e^{it}-a)-1\right)\right)\right|_{\phi_a^+}^{2\pi}\\\\ &=2\pi i (e^{i\phi_a}-a) \end{align}$$

Del mismo modo, tenemos

$$\oint_{|z|=1} \log(z-b)\,dz =2\pi i (e^{i\phi_b}-b)$$

En conjunto, tenemos

$$\oint_{|z|=1} \log\left(\frac{z-a}{z-b}\right)\,dz =2\pi i (e^{i\phi_a}-e^{i\phi_b}+(b-a))$$

Si elegimos $\phi_a=\phi_b$ la integral de interés es

$$\oint_{|z|=1} \log\left(\frac{z-a}{z-b}\right)\,dz =2\pi i (b-a) \tag1$$

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MÉTODO 2:

Aquí, observamos que si el corte de la rama se elige para colindar con los puntos de la rama, entonces el integrando es analítico fuera de $|z|=1$ . Por lo tanto, podemos evaluar la integral de interés utilizando el Teorema del Residuo con la Residuos en el infinito . Para ello, tenemos

$$\begin{align} \oint_{|z|=1} \log\left(\frac{z-a}{z-b}\right)\,dz &=-2\pi i \text{Res}\left(-\frac{1}{z^2}\log\left(\frac{z^{-1}-a}{z^{-1}-b}\right),z=0\right)\\\\ &=2\pi i\lim_{z\to 0} \left(\frac{1}{z}\log\left(\frac{1-az}{1-bz}\right)\right)\\\\ &=2\pi i (b-a) \end{align}$$

recuperando el resultado en $(1)$ ¡!