Constantes de estructura en álgebras de Poisson

Question

Actualmente estudio las álgebras de Poisson. En cuanto a las constantes de estructura de un álgebra de Poisson, ¿Cómo se puede definir para álgebras de Poisson?

Answer 1

Si su álgebra de Poisson $A$ se genera como un álgebra por $x^1,\ldots,x^n$ entonces el soporte de Poisson de elementos arbitrarios de $A$ puede expresarse (utilizando la bi-linealidad y la propiedad de bi-derivación) en términos del estructura funciones $P^{ij}=\{x^i, x^j\} \in A$ .

Por supuesto, estos son antisimétricos $P^{ji} =-P^{ij}$ y la identidad de Jacobi para $(f,g,h) =(x^i,x^j,x^k)$ conduce a $$\sum_{\ell=1}^n P^{i\ell}\partial_\ell P^{jk} + P^{j\ell}\partial_\ell P^{ki}+P^{k\ell}\partial_\ell P^{ij}=0 \qquad \text{ for all }\quad 1 \leqslant i <j<k\leqslant n.$$

Aquí he utilizado la abreviatura $\partial_\ell = \frac{\partial}{\partial x^\ell}$ .

A la inversa, un conjunto de funciones de estructura $P^{ij}$ satisfaciendo estas ecuaciones se puede definir un corchete de Poisson, $$\{f,g\}=\sum_{i,j=1}^n P^{ij}\cdot \partial_i f \cdot \partial_j g$$

Si se colocan las funciones de estructura en una matriz, se denomina Matriz de Poisson .

En el caso lineal $P^{ij} = \sum_k c^{ij}_k x^k$ la estructura funciones están completamente determinados por el constantes $c^{ij}_k$ pero un álgebra de Poisson general no puede capturarse utilizando sólo un conjunto finito de constantes.

Como referencia, véase, por ejemplo, el libro Estructuras de Poisson de Laurent-Gengoux, Pichereau y Vanhaecke, en particular la sección 1.2.2.