Representación matricial de una transformación lineal entre espacios vectoriales

Question

Sea $v$ ser un $n$ -espacio vectorial sobre un campo $F$ y $\psi: V \to V$ e isomorfismo. Demostrar que existen bases $B_1$ , $B_2$ (posiblemente diferentes) tal que la representación matricial de $\psi$ con respecto a las dos bases es precisamente la $n \times n$ matriz de identidad.

Sé que los isomorfismos asignan bases a bases. Sólo que no puedo dar las dos bases explícitas. Estoy suponiendo que uno debe fijar una base $\mathbf{v_1, v_2 \cdots v_n}$ y luego utilizar el hecho de que $\psi$ es un isomorfismo para obtener la segunda base. Pero no sé cómo proceder a partir de aquí. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sea $\{v_1,\ldots,v_n\}$ y $\{w_1,\ldots,w_n\}$ sean dos bases cualesquiera para $V$ . Recordemos que la matriz de una transformación lineal $T:V\to V$ viene dado por $(a_{ij})$ donde las entradas $a_{ij}$ vienen determinados por $$T(v_j)=a_{1j}w_1+\cdots a_{nj}w_n.$$ En otras palabras, la matriz de $T$ parece $$\left[T(v_1)\;\middle|\;\cdots \;\middle|\;\vphantom{$ \strut_\strut^{\strut^\strut} $} T(v_n)\right]$$ Tu objetivo es que ésta sea la matriz identidad. Por lo tanto, desea $$T(v_1)=\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}=1\cdot w_1+0\cdot w_2+\cdots +0\cdot w_n=w_1$$ $$\vdots$$ $$T(v_n)=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\\1\end{bmatrix}=0\cdot w_1+0\cdot w_2+\cdots +1\cdot w_n=w_n$$ Así, para cualquier base $B_1=\{v_1,\ldots,v_n\}$ de $V$ que quieras, dejando que la otra base $B_2$ simplemente ser $\{T(v_1),\ldots,T(v_n)\}$ realizará la transformación lineal $T$ estar representada por la matriz identidad.

Answer 2

$\psi(v_i)$ será el $i^{th}$ columna de la matriz de $\psi$ con respecto a la base $B=\{v_1, ...,v_n\}$ y las bases de la imagen $B^{\prime} = \{w_1, ..., w_n\}.$ Por ejemplo:

Si $\psi(x,y,z) = (2x + y, z, y+z)$ y utilizas la base estándar para la imagen y el dominio entonces las columnas de la matriz son:

$$\psi(e_1) = \psi(1,0,0) = (2, 0, 0)$$ $$\psi(e_2) = \psi(0,1,0) = (1,0,1)$$ $$\psi(e_3) = \psi(0,0,1) = (0,1,1)$$

Así que su matriz de $\psi$ es $$\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right)$$

Si eliges que la base de tu imagen sea $B^{\prime} = \{w_1 = (2,0,0), w_2 = (1,0,1), w_3 = (0,1,1)\}$ entonces $$\psi(e_1) = \psi(1,0,0) = 1w_1 + 0w_2 + 0 w_3 = (1,0,0)$$ con respecto a la base $B^{\prime}.$ Del mismo modo, $$\psi(e_2) = \psi(0,1,0) = 0w_1 + 1w_2 + 0w_3 = (0,1,0)$$ con respecto a $B^{\prime}.$

Y por último puede comprobar que $\psi(e_3) = (0,0,1)$ con respecto a $B^{\prime}$ por lo que la matriz de $\psi$ con respecto a estas dos bases tiene el vector $(1,0,0)$ en la primera columna, $(0,1,0)$ en el segundo y $(0,0,1)$ en la tercera por lo que es la matriz identidad, $$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right)$$

Intenta tomar este ejemplo y ver si puedes entender el caso general. Sólo mapa elegir sus nuevos vectores de base para que $w_i = \psi(v_i).$

Answer 3

Sea $v_1,v_2, \dots v_n$ sea una base para $V$ . Si $\psi: V \rightarrow V$ es un isomorfismo entonces mapea una base a una base (¿quizás necesites probar esto?). Por lo tanto, definir una nueva base (posiblemente, suponiendo que $\psi$ no es la identidad) $f_j = \psi(v_j)$ . Considere que $$\psi (x_1v_1 + \cdots x_nv_n) = x_1f_1+ \cdots x_nf_n$$ Por lo tanto, el vector de coordenadas no cambia cuando pasamos del dominio al rango y, por lo tanto, la matriz que transporta ese vector es la identidad. Si quieres te doy más detalles...

En otra notación, dejando $\beta' =\{ f_1,\dots , f_n \}$ y $\beta = \{ v_1, \dots v_n \}$ . Si $y = x_1v_1 +\cdots + x_nv_n$ entonces $[y]_\beta = [x_1,\dots x_n]^T$ y $$[\psi (y)]_{\beta'} = [x_1,\cdots x_n]^T$$ Así $[\psi]_{\beta,\beta'} = I$ .