¿Qué significa una probabilidad de $1$ ¿quieres decir?

Question

Desde un libro de texto sobre la probabilidad sobre la Ley de los Grandes Números:

Teorema 3-19 (Ley de los Grandes Números): Sea $X_1,X_2, \ldots , X_n$ sean variables aleatorias mutuamente independientes (discretas o continuas), cada una con media y varianza finitas. Entonces si $S_n = X_1 + X_2 +\dots+ X_n$ ,

$$ \lim_{n \to\infty} P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \mu\right| \geq \varepsilon\right) = 0 $$

Desde $S_n$ es la media aritmética de $X_1,X_2, \ldots , X_n$ este teorema afirma que la probabilidad de la media aritmética $\frac{S_n}{n}$ que difiere de su valor esperado $\mu$ por más de $\varepsilon$ se aproxima a cero a medida que $n \to \infty$ . Un resultado más fuerte, que podríamos esperar que fuera cierto, es que $ \lim_{n \to\infty} \frac{S_n}{n} = \mu $ pero esto es realmente falso. Sin embargo, podemos demostrar que $ \lim_{n \to\infty} \frac{S_n}{n} = \mu $ con probabilidad uno.

La única diferencia entre la última frase y la anterior es la frase "con probabilidad uno". ¿Qué significa aquí probabilidad uno? La definición habitual es que el acontecimiento se produce con un 100% de certeza. Si es así, ¿por qué la afirmación original $ \lim_{n \to\infty} \frac{S_n}{n} = \mu $ ¿Falso?

Answer 1

La probabilidad cero no significa que "nunca ocurra", y la probabilidad uno no significa que "siempre ocurra". Por ejemplo, si se elige un número real de manera uniforme en el intervalo $[0,100]$ , elegirá un número entero con probabilidad cero, y un número trascendental con probabilidad uno. Sin embargo, eso no significa que no haya números enteros.

Para entender lo que significa la "probabilidad cero", es necesario conocer algunos teoría de la medida significa que la medida de ese evento es cero. Del mismo modo, "probabilidad uno" significa que la medida de ese suceso es uno. Esta idea se utiliza con bastante frecuencia en la teoría de la probabilidad, porque los sucesos de medida cero suelen ser molestos y queremos no pensar en ellos.

Answer 2

Lanza un dardo a una diana cuadrada, siendo la probabilidad de que caiga en cualquier subregión del cuadrado proporcional al área de la región.

La probabilidad de que no caiga exactamente en la diagonal de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha es $1$ ya que el área de esa diagonal es cero.

Pero eso no significa que todos los puntos del espacio de puntos donde podría caer no estén en esa diagonal. Algunos puntos están en la diagonal.

Esa es la diferencia.

Answer 3

Hacerlo a continuación con variables aleatorias - la misma idea que en su caso (donde es el evento `"algo sucede a esa secuencia de variables aleatorias")

La diferencia entre $X=a$ et $X=a$ a.s. (casi seguro, es decir, con probabilidad uno) se entiende mejor cuando se ve realmente una variable aleatoria como lo que es: a función de algún conjunto $\Omega$ dotado de una distribución de probabilidad a algún conjunto de valores $\mathcal{X}$ .

" $X=a$ " significa " $\forall\omega\in\Omega,\ X(\omega)=a$ ", es decir, " $\{\omega\in \Omega: X(\omega)=a\}=\Omega$ ".

Sin embargo, " $X=a$ a.s" (o, de forma equivalente, $\mathbb P\{X=a\}$ ) sólo significa la medida del conjunto $\{\omega\in \Omega: X(\omega)=a\}$ es 1 . Allí puede ser algo $\omega$ para los que $X(\omega)\neq a$ pero la medida del conjunto de tales $\omega$ es $0$ (es decir, el conjunto de "malos" $\omega$ es insignificante).

Answer 4

$S_n$ es a su vez una variable aleatoria. Digamos que $\mu$ es 0,5. $S_n = 0$ es un evento posible si $X_i=0$ es posible para cada i. Esto significa que $lim_{n\rightarrow }\frac{S_n}{n}$ también es una variable aleatoria. Es $\mu$ con probabilidad uno, pero hay eventos para los que no es $\mu$ ¡!