Polígono regular inscrito en un círculo unitario

Question

Dado un punto $P$ en la circunferencia de un círculo unitario y los vértices ${A_1},{A_2}, \ldots ,{A_n}$ de un polígono regular inscrito de $n$ lateral. Demostrar que $P{A_1}^4 + P{A_2}^4 + \cdots + P{A_n}^4$ es constante, es decir, independiente de la posición de $P$ .

Answer 1

En números complejos, esto es

$$ \sum_i\left|p-a_i\right|^4=\sum_i(p-a_i)(p-a_i)(\bar p-\bar a_i)(\bar p-\bar a_i)\;. $$

Las condiciones de $0^\text{th}$ y $4^\text{th}$ ordenar en $p$ son constantes. Los términos de los pedidos impar suman $0$ por simetría. Los términos de $2^\text{nd}$ ordenar en $p$ que contengan $a_i^2$ o $\bar a_i^2$ suma a $0$ por simetría, y el término con $p\bar pa_i\bar a_i$ es constante.