Encontrar el número mágico de la siguiente manera

Question

Sea $s$ y $t$ sean enteros positivos distintos con $s+t$ y $s-t$ son números cuadrados. Un par $(s,t)$ se llama mágico si existe un número entero positivo $u$ tal que $12s^2 + t^2 = 4t^2u^3$ . ¿Existe un número mágico?

Lo intento. $s+t = m^2$ y $s-t = n^2$ para algún número entero positivo $m, n$ tal que $2t = (m-n)(m+n)$ . LHS es par, por lo que RHS debe ser par. Hay 2 casos, cuando ambos $m$ y $n$ son impar, y, cuando ambos $m$ y $n$ están en paz.

Y después, ¿qué? Me quedé atascado aquí. ¿Alguna idea?

Answer 1

Demasiado largo para un comentario. Como señala Ross Molikan, el problema se reduce a resolver $3k^2+1=4u^3$ .

Trabajamos en el ring $R=\mathbb{Z}[j]$ donde $j=e^{2i\pi/3}$ . El anillo $R$ es un PID (es incluso euclidiano), por lo tanto un UFD.

Establecer $z=1+k\sqrt{-3}=k+1+2k j$ . La ecuación puede reescribirse $zz^*=4u^3$ donde $*$ denota conjugación compleja (que induce un automorfismo de $R$ ).

Desde $2$ se sabe que es irreducible en $R$ , $2$ divide $z$ o $z^*$ en $R$ pero entonces $2$ divide $z$ en ambos casos (aplicar conjugación compleja). Puesto que $z=(k+1)+2kj$ esto implica que $k+1$ es par, y que $k$ es impar. Entonces tenemos $z=2y$ con y= $\frac{k+1}{2}+kj$ con $k$ impar. En particular, $2\nmid y$ en $R$ .

Ahora la ecuación es equivalente a $yy^*=u^3$ .

Afirmamos que $y$ y $y^*$ son coprimos en $R$ . En efecto, si $t\in R$ es un divisor común de $y$ y $y^*$ divide $y+y^*=\frac{z+z^*}{2}=1$ y así $t$ es una unidad.

Desde $y, y^*$ son coprimos y $yy^*$ es un cubo, $y=\alpha w^3$ donde $\alpha$ es una unidad de $R$ y $w\in R$ . Obsérvese ahora que las unidades de $R$ son $\pm 1,\pm j,\pm j^2$

Supongamos en primer lugar que $\alpha=\pm 1.$ Cambio de signos (desde $-1$ ) , se puede suponer que $\alpha=1$ .

Por lo tanto $y=w^3$ Así que $z=2w^3$ . Ahora utilizamos el hecho de que un elemento $w$ de $R$ puede escribirse bajo la forma $w=\frac{a+b\sqrt{-3}}{2}$ donde $a,b$ tienen la misma paridad.

Entonces obtenemos $z=2w^3=\dfrac{a^3-9 ab^2+(3a^2b-3b^3)\sqrt{-3}}{4}=1+k\sqrt{-3}$ .

En particular, $4=a(a^2-9b^2)$ . Tenga en cuenta que si $a$ y $b$ son pares, entonces $a^2-9b^2$ debe ser divisible por $4$ y luego $a (a^2-9b^2)$ es divisible por $8$ contradicción. Por lo tanto $a$ y $b$ son impar, así que $a=\pm 1$ . Si $a=1$ entonces $3=-9b^2\leq 0$ contradicción. Por lo tanto $a=-1$ Así que $9b^2=5$ Otra contradicción.

Queda por examinar el caso $\alpha=\pm j, \pm j^2$ . Desde $-1$ es un cubo, se puede suponer que $\alpha=j$ o $j^2$ . Si $\alpha=j^2$ conjugando se obtiene que $z^*=2j (w^*)^3$ . Así que sustituir $k$ por $-k$ se puede suponer que $z=2jw^3$ . Este parece ser el caso difícil. Todavía pensando en ello ... Tal vez alguien será capaz de continuar más allá.

Answer 2

Tenga en cuenta en primer lugar que $t$ debe ser par como los dos términos de la ecuación excepto $t^2$ están en paz. Sea $t=2v$ y ahora buscamos soluciones para $3s^2+v^2=4v^2u^3$ . $s$ y $v$ deben tener la misma paridad. Si ambos son pares podemos dividir ambos por $2$ y la ecuación seguirá satisfaciéndose, por lo que la solución mínima tendrá ambos impar. Ahora $s$ debe ser múltiplo de $v$ por lo que $s=kv$ y tenemos $3k^2+1=4u^3$ . Se trata de una curva elíptica y hay quien puede encontrar soluciones enteras en ellas, pero yo no soy uno. Yo sólo encuentro $k=1,u=1$ mediante una búsqueda rápida hasta $k=458$ . Esto se convierte en $2s=t, u=1$ pero entonces $s-t=-s \lt 0$ y no puede ser un cuadrado. Si no hay otro punto entero en la curva, no hay solución.

Answer 3

Comentario:

Un enfoque experimental:

Para asegurarnos de que (s-t) y (s+t) son cuadrados podemos considerar el siguiente triple pitagórico:

$a=2i+1$ , $b=2i(i+1)$ y $c=2i(i+1)+1$

Dónde :

$2i(i+1)+1-2i(i+1)=1=1^2$

$2i(i+1)+1+2i(i+1)=4i^2+4i+1=(2i+1)^2$

Y:

$$(2i+1)^2+[2i(i+1)]^2=[2i(i+1)+1]^2$$

Así que debemos tener:

$$u^3=\frac{12[2i(i+1)+1]^2+[2i(i+1)]^2}{4[2i(i+1)]^2}$$

O:

$$u^3=\frac{12[(b+1)^2+b^2}{4b^2}$$

No he podido encontrar una solución integral para u para i hasta $10^6$ .