Combinación convexa de 3 puntos en R2 y Triángulo

Question

Soy nuevo en la combinación convexa, y estoy bastante sorprendido por algún resultado fácil.

Sé que la combinación convexa de 2 puntos( $P_1P_2$ ) en $R^2$ son todos los puntos del segmento de recta $P_1P_2$ .

Y luego veo un resultado que la combinación convexa de 3 puntos $P_1P_2P_3$ que no está en una línea, son todos los puntos del triángulo $\bigtriangleup P_1P_2P_3$ . Es un resultado razonable, pero quiero ver cómo lo demuestra la gente.

¿Alguien puede aportar una prueba?

Answer 1

Los coeficientes que surgen en una combinación afín de tres puntos 2D se denominan coordenadas baricéntricas . Véase aquí y aquí para más información.

Estas coordenadas representan en realidad las áreas (con signo) de triángulos, como explican las referencias. Cuando un punto está dentro de un triángulo, las tres áreas relevantes son todas positivas, por lo que las coordenadas baricéntricas corresponden a una combinación convexa.

Las referencias proporcionan todos los detalles, pero un argumento sencillo es el siguiente:

Supongamos que tenemos un triángulo con vértices $\mathbf{A}$ , $\mathbf{B}$ , $\mathbf{C}$ , y considerar la combinación convexa $\mathbf{P} = u\mathbf{A} + v\mathbf{B} + w\mathbf{C}$ donde $u,v,w $ están en el intervalo $[0,1]$ y $u+v+w=1$ .

Definir un punto $\mathbf{Q}$ por $$ \mathbf{Q} = \frac{v}{v+w}\mathbf{B} + \frac{w}{v+w}\mathbf{C} $$ Claramente $\mathbf{Q}$ está en el segmento de línea (el borde del triángulo) $\mathbf{B}\mathbf{C}$ . Pero entonces $$ \mathbf{P} = u\mathbf{A} + (v+w)\mathbf{Q} = u\mathbf{A} + (1-u)\mathbf{Q} $$ Así que.., $\mathbf{P}$ está en el segmento de recta $\mathbf{A}\mathbf{Q}$ y por lo tanto se encuentra dentro del triángulo $\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}$ .

Si te interesa, la extensión al espacio tridimensional es fácil: las combinaciones convexas te dan los puntos dentro de un tetraedro.

Answer 2

Un enfoque ingenuo para imaginar la verdad de la afirmación:

Consideremos el conjunto de todas las combinaciones convexas

$C = \left\lbrace\alpha_{1}x_{1} + \alpha_{2}x_{2} + \alpha_{3}x_{3}\right| \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=1\rbrace$ .

E imagina lo que pasaría si $\alpha_{1} = 0$ y $\alpha_{1},\alpha_{2} \in (0,1]$ debemos tener un segmento de línea que une $x_{2}$ a $x_{3}$ . De la misma manera, construimos una línea segmente uniendo $x_{1}$ a $x_{3}$ y $x_{1}$ a $x_{2}$ . Entonces hemos construido el límite del triángulo en $\mathbb{R}^{2}$ en los casos en que $\alpha_{i} \in (0,1)$ los puntos se encuentran en el interior.