si $f \in A[x]$ es un divisor nulo, entonces existe $a ≠ 0$ en $A$ tal que $af = 0$ .

Question

El título de la pregunta indica lo que intento demostrar, que si $f$ es un miembro de un anillo polinómico sobre un anillo conmutativo con identidad, y $f$ es un divisor nulo, entonces existe un elemento no nulo de A tal que $af = 0$ .

He comenzado la demostración obteniendo la existencia de un polinomio $g$ de grado mínimo tal que $g$ es distinto de cero y $fg = 0$ ya que $f$ es un divisor cero, tal que $g$ debe existir. Quiero usar la inducción para demostrar que $a_{n-i}g = 0$ para $i = 0, 1, \ldots, n$ y he terminado el caso base $a_ng = 0$ .

Tengo problemas para dar con el término exacto de $fg$ que debería utilizar para el caso inductivo. Mi inducción comienza suponiendo que para algunos $i \geq 0$ , $a_{n-k}g=0$ para $0 \leq k \leq i$ y quiero demostrar que $a_{n-(i+1)}g=0$ . Creo que puedo hacerlo examinando un término concreto de $fg$ y mostrando que de hecho es igual a ambos $a_{n-(i+1)}$ por algún coeficiente de $g$ y $0$ y luego utilizando el mismo tipo de lógica que utilicé en el caso base, pero tengo problemas para averiguar qué coeficiente de $g$ Debería estar mirando. Quiero decir que debería ser $nm-(i+1)$ o $(n-(i+1))m$ pero no consigo que ninguno de los dos funcione.

Answer 1

Sugerencia Supongamos que no. Elija $\rm\:G \ne 0\:$ de grado mínimo con $\rm\:FG = 0\:.\:$

Escriba a $\rm\:F = a +\:\cdots\:+ f\ X^k +\:\cdots\:+ c\ X^m\ $

y $\rm\ \ \ G = b +\:\cdots\:+ g\ X^n\:,\:$ donde $\rm\:g \ne 0\:$ y $\rm\:f\:$ es el coef de mayor grado de $\rm\:F\:$ con $\rm\:f\:G \ne 0\:$ (nótese que tal $\rm\:f\:$ existe si no $\rm\:F\:g = 0\:$ contra suposición).

Entonces $\rm\:F\:G = (a +\:\cdots\:+ f\ X^k)\ (b +\:\cdots\:+ g\ X^n) = 0.$

Así $\rm\:f\:g = 0\:$ de ahí $\rm\:\deg(f\:G) < n\:$ y $\rm\: F\:(f\:G) = 0,\:$ contra $\ldots$