¿Es "práctica común en espectroscopia por transformadas de Fourier multiplicar el interferograma medido por una función apodizadora"? En caso afirmativo, ¿por qué?

Question

El reciente artículo publicado en Nature Confirmación independiente de un pico de metano en Marte y de una región fuente al este del cráter Gale es interesante y la base es un reanálisis de los datos de 2013 tomados por un espectrómetro X sobre la nave Mars Express en órbita alrededor de Marte mirando hacia abajo en la atmósfera marciana.

El artículo en sí es de pago, pero los datos complementarios describen el reanálisis con gran detalle .

El Espectrómetro Fourier Planetario [38] (PFS) de Mars Express 37 es un espectrómetro infrarrojo Fourier de doble péndulo optimizado para estudios atmosféricos. Dispone de dos canales espectrales distintos que operan simultáneamente y cubren el rango de números de onda entre 200-2000 cm1 (Canal de Longitud de Onda Larga, en adelante LWC) y 2000-8300 cm1 (Canal de Longitud de Onda Corta, en adelante SWC). Ambos canales tienen un paso de muestreo de 1 cm1 y una resolución espectral de ~1,3 cm1, cuando no se aplica ninguna función de apodización, y de ~1,8 cm1 cuando se aplica una función Hamming a los interferogramas medidos (como en el caso del presente trabajo).

La clave del proceso es comprender cómo se preprocesan los datos brutos mediante una función de apodización de Hamming antes del ajuste espectral.

Paso 1: Se aplica la función de apodización de Hamming a los interferogramas PFS. Es una práctica común en la espectroscopia por transformadas de Fourier multiplicar el interferograma medido por una función de apodización con el fin de reducir la cantidad de ringing presente en la forma de línea instrumental resultante [77]. Esto reduce un poco la resolución espectral (de 1,3 cm-1 a 1,8 cm-1 en el caso de PFS [78]), pero también reduce el ruido instrumental y la magnitud de los lóbulos laterales en la forma de la línea instrumental, que son un resultado directo de la diferencia óptica máxima finita en los interferogramas medidos [79]. La función de Hamming H se define como H(/L) = 0,54+0,46cos(/L), donde es la diferencia de camino óptico hasta un valor máximo de L.

77. Davis, S. P., Abrams, M. C. & Brault, J. W., Espectrometría por transformada de Fourier, Academic Press (2001).
78. Giuranna, M., et al., Calibración del canal de longitud de onda corta del Espectrómetro Fourier Planetario. Planet. Space Sci. 53 (10), 975-991 (2005).
79. Naylor, D.A. & Tahic, M. K., Funciones de apodización para espectroscopia por transformada de Fourier. J. Opt. Soc. Am. A 24, 3644-3648 (2007).

Me sorprendió leer que los datos brutos se filtran antes de la instalación a modelos espectroscópicos para extraer concentraciones. No soy especialista en FTIR, pero en cambio habría esperado que todos los errores instrumentales fueran incluidos en la generación de espectros teóricos ajustados y que los datos brutos encajarían en su forma prístina e inalterada. Al fin y al cabo, lo único que se sabe con certeza al realizar un ajuste es que los datos son los datos, es decir, lo que se ha medido realmente. Todo lo demás son especulaciones.

PREGUNTA: Suponiendo que la cita en bloque sea correcta y que sea "una práctica común en la espectroscopia por transformada de Fourier multiplicar el interferograma medido por una función de apodización con el fin de reducir la cantidad de anillos presentes en la forma de la línea instrumental resultante", ¿por qué se considera "seguro" hacer esto? ¿Por qué no se incorporan todos los efectos instrumentales a la función de ajuste, permitiendo en su lugar ajustar directamente los datos brutos?

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Los espectros en cuestión, de Confirmación independiente de un pico de metano en Marte y de una región fuente al este del cráter Gale :

Answer 1

Sueles publicar preguntas interesantes, que parecen aparentemente sencillas, pero que son todo un reto. La adquisición de datos y el procesamiento de señales modernos son tan complicados que casi parecen una caja negra. Es divertido cuando pregunto a los ingenieros eléctricos algunas cuestiones sobre el procesamiento de señales y no saben las respuestas, y cuando pregunto a los matemáticos, les resulta demasiado matemática aplicada. Tampoco soy un experto en FTIR, pero como químico analítico, puedo añadir algunas observaciones. Creo que la apodización se hace rutinariamente para disminuir el ruido y las oscilaciones cuando se hace una transformada inversa. Si haces algunas operaciones matemáticas en el dominio de la frecuencia, cuando haces la transformada inversa, el nivel de ruido es locamente alto. Por supuesto, cuando se analizan señales muy pequeñas no se desea tener ruido.

En general, a veces necesito ajustar funciones a los datos para obtener funciones con forma de pico. Siempre consigo un mejor ajuste una vez que filtro digitalmente los datos y los ajusto más tarde (media móvil, Savitsky Golay, Hamming en el dominio temporal, etc.) El ruido es el mayor enemigo de cualquier químico analítico o de un espectroscopista.

Con cualquier proceso de suavizado, ya sea en el dominio de la frecuencia o en el del tiempo, se tiende a perder resolución. Siempre hay un punto dulce para el filtrado digital o si ha oído el cuento de Ricitos de Oro que entró en la casa de los tres osos... "Cuando terminó las gachas, Ricitos de Oro se sintió cansada y fue a buscar un sitio donde sentarse. La primera silla que encontró era demasiado grande, la segunda aún lo era más, pero la tercera le pareció...". justo ." La misma regla se aplica al filtrado digital. Con muy poco no sirve de nada, con demasiado se pierde toda la resolución y con el filtrado adecuado se obtiene la mejor relación señal/ruido.

Answer 2

Si hay una señal ruidosa que decae, como el FID en un experimento de RMN, la relación señal/ruido es mayor a tiempos más cortos que a tiempos más largos, en los que el ruido permanece pero la señal es más débil. Multiplicar el FID por una exponencial decreciente, es decir, una función de apodización, suprime la señal allí donde el ruido es mayor y aumenta la relación señal/ruido en el espectro tras la transformación de Fourier de la señal. El inconveniente es que se pierde algo de resolución. Tanto la relación señal/ruido como la resolución dependen del tiempo de decaimiento de la función de apodización. (Si se necesita mayor resolución, se puede utilizar una exponencial inversa, pero a costa de degradar la relación señal/ruido).

En general, la forma de una función de opodización elegida dependerá de la naturaleza de la señal y se utilizan diversas formas.

(Si se va a transformar una señal de Fourier, está implícito que la señal es una réplica de una serie repetitiva de señales. En la práctica, no se mide esto, sino una única caída, por lo que es importante que la señal sea cero al final de los datos; de lo contrario, la transformada de Fourier incorpora parte de esta señal al resultado, lo que produce artefactos. La diferencia entre el inicio y el final de la señal aparece como un cambio de paso y, por tanto, tiene componentes de frecuencia. Una función de apodización elimina este problema).

Las figuras siguientes muestran los datos brutos y luego transformados de Fourier y más abajo cuando los mismos datos están bastante apodizados. Obsérvese que la relación señal/ruido aumenta, pero también se degrada ligeramente la resolución espectral.

Answer 3

La función de apodización de Hamming también se conoce como ventana de Hamming.

Si tienes datos con este aspecto

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Como el sensor sólo capta datos en una ventana determinada, al introducirlos en una FFT se obtienen un montón de artefactos causados por la ventana.

Entonces, cuando lo reconstruyes (después de hacer cambios aparentemente menores), en lugar de un rectángulo bonito, obtienes un rebasamiento/desplazamiento en los bordes afilados. Por ejemplo, si se supermuestrea en la reconstrucción, los datos intermedios cerca de esos bordes serán rebasamientos de basura. Esos rebasamientos son artefactos del método de análisis.

Una de las reglas de la FFT es que reconstruye de forma única la señal original si ésta no tiene componentes de frecuencia por encima de un determinado umbral.

¿Pero esas caídas tan bruscas? Son, en cierto sentido, componentes de frecuencia de frecuencia infinita. Así que se violan los supuestos de la FFT.

Una ventana de Hamming suaviza los bordes hasta cero de forma que no se genere demasiada basura adicional en el dominio de la frecuencia.

Esto es "seguro" porque se puede limitar matemáticamente la cantidad de "basura" que la función de ventana puede añadir a la señal (tanto en magnitud como en qué parte del dominio de la frecuencia). A nadie le interesan especialmente los artefactos de timbre generados por la ventana finita específica que utilizó su instrumento para detectar la señal.

Tras aplicar la ventana, el impulso se parecerá mucho a la señal original, pero en lugar de acantilados pronunciados tendrá una pendiente suave. Y la señal del centro estará un poco borrosa.

Se utilizan funciones de ventana específicas porque su efecto en el dominio de la frecuencia se conoce bien y está delimitado. Los intentos ad hoc de corregir estos artefactos van a añadir efectos "peores" y menos predecibles en los datos resultantes del dominio de la frecuencia.

Después de todo, lo principal es limpiar,

[...] resultado directo de la diferencia óptica máxima finita en los interferogramas medidos

es decir, la ventana de señales.

Answer 4

PREGUNTA: Suponiendo que la cita en bloque sea correcta y que sea "una práctica común en la espectroscopia por transformada de Fourier multiplicar el interferograma medido por una función de apodización para reducir la cantidad de anillos presentes en la forma de la línea instrumental resultante", ¿por qué se considera "seguro" hacer esto? ¿Por qué no se incorporan todos los efectos instrumentales a la función de ajuste, permitiendo en su lugar ajustar directamente los datos brutos?

La apodización consiste en multiplicar los datos (una función de tiempo o frecuencia) por una función envolvente antes de la transformación de Fourier. La finalidad puede ser múltiple, pero las principales son la mejora de la resolución, la mejora de la sensibilidad (señal-ruido) y la supresión de los artefactos debidos a las limitaciones instrumentales, en particular el truncamiento de la señal, que presumiblemente da lugar al zumbido mencionado en el artículo. De hecho, el término apodización se refiere a esta última tarea, ya que la operación puede eliminar los "pies" en los bordes de la ventana de datos. Los distintos objetivos no siempre son compatibles entre sí, ya que la mejora de la relación señal/ruido se produce a costa de la resolución (ensanchamiento de los picos). En los espectros mostrados, la resolución parece bastante baja, pero la preocupación parece ser el s/n, que tampoco es impresionante. El objetivo de la apodización en este caso es principalmente reducir el ruido y suprimir los lóbulos (ringing) debido a un ancho de banda de adquisición limitado, a expensas de la resolución.

Pero, en lo que respecta a la cuantificación, ¿no importa si se aplica la apodización? ¿La función de apodización no distorsiona los resultados? ¿Por qué es correcto realizar tal denoising/apodización?

La apodización puede mejorar significativamente la relación s/n y, por tanto, la precisión de los parámetros derivados de los datos. Se supone que los datos proceden de una función de señal más una función de ruido, y normalmente se supone que son estadísticamente independientes, y que el ruido también es independiente (no correlacionado, pero de varianza constante) entre las señales. Se trata de suposiciones importantes, pero no suele ser peligroso hacerlas. Si la mismo la función de apodización se aplica a los espectros que se comparan en un análisis (como una serie temporal), ya que el efecto de la función de apodización es lineal $^\dagger$ no introduce artefactos cuantitativos. Otros algoritmos de eliminación de ruido (normalmente iterativos) no son lineales y pueden causar problemas de cuantificación.

¿Por qué los métodos para tener en cuenta los factores de ruido y truncamiento (lóbulos) no se subsumen en una función de ajuste compleja? Porque no es necesario. Aparte de realizar la operación de apodización en el resultado de la simulación en un dominio antes de la transformación de Fourier, el método más sencillo para suprimir el truncamiento/ruido durante el ajuste consistiría en realizar una operación de convolución con la transformada de Fourier de la función de apodización. Del mismo modo que la FFT ofrece ventajas en términos de velocidad de adquisición y s/n, la multiplicación en un dominio en lugar de la convolución por una función compleja en el dominio alternativo ahorra tiempo y quebraderos de cabeza, por lo que la apodización en un dominio anterior a la FFT.

Me sorprendió leer que los datos brutos se filtran antes de ajustarlos a los modelos espectroscópicos para extraer las concentraciones. No soy especialista en FTIR, pero habría esperado que todos los errores instrumentales se incluyeran en la generación de espectros teóricos ajustados y que los datos brutos se ajustaran en su forma prístina e inalterada. Al fin y al cabo, lo único que se sabe con certeza cuando se realiza un ajuste es que los datos son los datos, es decir, lo que se ha medido realmente. Todo lo demás son especulaciones.

O bien se aplicó presumiblemente la misma función de apodización a los datos simulados brutos que a los datos experimentales brutos, o bien se trató la anchura del pico como un parámetro ajustable. Aunque no he leído el artículo, supongo que la presencia del pequeño pico a una frecuencia específica (~ $\pu{3017 cm^-1}$ ) era más importante para sacar conclusiones sobre la presencia de una firma química específica que su intensidad y anchura exactas. Por otra parte, si el efecto de la apodización puede tenerse en cuenta en la simulación de datos, la cuantificación podría incluso ser posible.

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$\dagger$ 1. El efecto de la función de apodización sobre el ruido y la señal puede tratarse por separado; y 2. escalando la señal bruta por una constante y realizando la apodización se obtiene la función original apodizada escalada por esa constante.

Answer 5

Si observa las figuras anteriores, fíjese en que los extremos del FID son "cuadrados". Cuando esto se transforma en Fourier, esta rápida caída aparece como componentes de alta frecuencia, ya que los cambios bruscos equivalen a altas frecuencias. Todas las funciones de apodización que se utilizan caen a cero en los bordes y eliminan este artefacto. Se ha comprobado que las distintas formas de apodización utilizadas son las mejores para distintos usos, ya que minimizan la distorsión dada la necesidad de aproximarse a cero en los bordes.