Solución particular de la ecuación no homogénea por el método de los coeficientes indeterminados

Question

$$y_2^{\prime \prime} +y_2= -g_2p_1^2 \cos ^2 \tau + \omega_1p_1 \cos\tau $$ la diferenciación con respecto al tiempo. Solución del término homogéneo = $A \cos\tau+ B \sin\tau$ .

Ahora quiero averiguar la solución particular. ¿Cuál sería la conjetura? ¿O se puede resolver la solución particular? $\omega_1, p_1 , g_2$ son constantes.

Answer 1

Puede utilizar método variacional de parámetros ya que el Wronskiano es igual a $1$ lo que facilita los cálculos. He aquí el resultado final

$$ y \left( \tau \right) = A\cos \left( \tau \right)+B\sin\left( \tau \right) +\frac{b\tau}{2}\,\sin \left( \tau \right) - \frac{a}{3} \cos \left( \tau \right)^{2}+\frac{b}{2}\cos \left( \tau \right) +\frac{2a}{3} ,$$

donde $a=-g_2\,p^2_1,\,$ $b= \omega_1\,p_1$ .

Answer 2

Llamar a la derecha $-a\cos^2\tau+b\cos\tau$ . Si podemos encontrar soluciones particulares de (i) $y''+y =\cos^2\tau$ y de ii) $y''+y=\cos\tau$ podemos tratar nuestro lado derecho por linealidad.

(i) Recordemos que $\cos^2\tau=\frac{1}{2}(1+\cos 2\tau)$ . Una solución particular de $y''+y=\frac{1}{2}$ es fácil: basta con dejar que $y=\frac{1}{2}$ .

A continuación tratamos $\frac{1}{2}\cos 2\tau$ . Buscar una solución $y$ de forma $k\cos 2\tau$ .

Entonces $y''=-4k\cos 2\tau$ y $y=k\cos 2 \tau$ por lo que queremos $-3k=\frac{1}{2}$ , dando $k=-\frac{1}{6}$ .

Eso se encarga de la $\cos^2\tau$ plazo. Queda por tratar $\cos\tau$ .

(ii) Existe un truco estándar en este caso. Buscamos una solución $y$ de forma $A\tau\sin\tau$ . Entonces $y'=A\tau\cos\tau+A\sin\tau$ . Diferenciando de nuevo obtenemos $y''=-A\tau\sin\tau+2A\cos\tau$ . Añada $y$ a esto y obtenemos $y''+y=2A\cos\tau$ . De ello se deduce que $A=\frac{1}{2}$ .

Por tanto, una solución particular de $y''+y=\cos\tau$ es $\frac{1}{2}\tau\sin\tau$ .

Hemos mencionado todos los componentes que necesita para anotar una solución concreta.