Demostrar que un $p$ -que opera sobre un conjunto finito de orden no divisible por $p$ tiene un punto fijo.

Question

Sea $G$ sea un grupo finito de orden $p^e$ para algún primo $p$ . Sea $S$ sea un conjunto de tamaño no divisible por $p$ . Sé que

$|G| = |Stab(s)|\cdot|O_s|$ = (estabilizador de $s$ )(órbita de $s$ )

Por lo tanto, si no hay punto fijo, el $|O_s|$ nunca es $1$ por lo que por la ecuación de clase

$|G| = \sum_{orbits} |O_s| = \sum_{orbits} p^{e(s)}$ ya que $|O_s|$ divide $|G|$ . Puesto que no hay $1$ en la suma, es divisible por algún máximo $p^\ell$ . Factorización $p^\ell$ entonces tenemos $|G|/p^\ell = p^k = 1 + \dots $ (múltiplos de $p$ ) lo cual es imposible, ya que $1$ no es múltiplo de $p$ .

¿Me falta algo para que sea una prueba completa?

Answer 1

Dos críticas:

1. Es perfectamente posible dividir $|G|$ por $p^\ell$ y obtener $$|G|/p^\ell=\underbrace{1+1+\cdots+1}_{{\rm multiple~of~}p}+({\rm multiples~of~}p).$$

2. En cualquier caso, la ecuación de clase arroja el tamaño de $S$ no de $G$ por lo que lo anterior es discutible. Todavía se puede dividir $|S|$ por el máximo $p^\ell$ y obtener múltiples $1$ s en la suma resultante. La cuestión no es el número de $1$ s en el lado derecho después de dividir por el $p^\ell$ pero el hecho de que $p$ divide $|S|$ ¡en absoluto!

La idea aquí es: sin punto fijo $\implies |S|=\sum ({\rm multiples~of~}p)\implies 0\not\equiv |S|\equiv0$ mod $p$ absurdo.