Paréntesis de derivadas parciales de termodinámica

Question

Hoy me he acordado a medias de un truco maravilloso para hacer derivadas parciales termodinámicas, pero no recuerdo ni el conjunto completo de reglas, ¡ni de dónde las saqué! Esperaba que alguien más supiera de dónde vienen o dónde puedo encontrarlas escritas.

Las normas, que yo recuerde es definir un soporte $[A,B]$ definidos sobre potenciales termodinámicos y variables tales que:

$[X,X] = 1$ ,

$[X,Y] = -[Y,X]$ ,

Si $dX = AdB + CdD$ entonces $[X,Y] = [B,Y][D,Y]$ ,

y lo más importante,

$\left(\frac{\partial X}{\partial Y}\right)_Z = \frac{[X,Z]}{[Y,Z]}$ .

Como ejemplo de funcionamiento (suprimo las comas), tenemos

$$\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_S = \frac{[PS]}{[VS]}\\ \\ = \frac{[PS]}{[VS]}\cdot \frac{[TP]}{[TP]}\cdot \frac{[TV]}{[TV]} \cdot \frac{[PP]}{[VV]} = \frac{[TP]}{[TV]}\cdot \frac{[HP]}{[TP]}\cdot \frac{[TV]}{[UV]}\\ \\ = \frac{[TP]}{[TV]}\cdot \frac{[HP]}{[TP]} / \frac{[UV]}{[TV]}\\ \\ = \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T \cdot \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P / \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V\\ \\ = \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T \cdot \left(\frac{C_p}{C_V}\right)$$

La segunda igualdad implica multiplicar por 1 varias veces. La segunda se basa en la tercera regla.

Edita:

Como ha señalado un usuario, la primera identidad es trivialmente errónea, y debería ser

$[X,X] = 0$ .

Para más detalles, consulte el enlace de la respuesta aceptada.

Answer 1

El papel de los jacobianos en termodinámica se presenta muy bien en Jaynes . También contiene las reglas de manipulación. Significado físico del jacobiano $\frac{[X,Y]}{[U,V]}$ en el que $X,Y,U,V,$ son variables termodinámicas es la siguiente: Tomemos una trayectoria termodinámica infinitesimal cerrada orientada. La misma trayectoria se puede dibujar en cualquiera de los dos $X$ - $Y$ diagrama termodinámico o en $U$ - $V$ diagrama termodinámico. El Jacobiano $\frac{[X,Y]}{[U,V]}$ da la relación de áreas orientadas encerradas por la misma trayectoria termodinámica en el $X$ - $Y$ y $U$ - $V$ diagramas termodinámicos. En otras palabras: \begin{align} \int dX~dY=\int dU~dV\frac{[X,Y]}{[U,V]} \end{align}