Último Teorema de Fermat y Kummer la Objeción de

Question

En 1847 Lamé había anunciado que había probado el Ultimo Teorema de Fermat. Esta "prueba" se basa en la factorización única en $\mathbb{Z}[e^{2\pi i/p}]$. Sin embargo, Kummer, demostró que cuando $p=23$ no tenemos la factorización única, y de hecho Kummer demostrado que esta 3 años antes, en 1844.

Mi pregunta es: ¿cómo se puede demostrar que $\mathbb{Z}[\zeta_p]$ no tiene única factorización cuando $p = 23$, pero no para $p < 23$?

Answer 1

Dos observaciones.

1. Clase de teoría de campo puede ser eliminado de la respuesta de Pablo: si el grado de dólares(L:K)$ de una extensión de los campos de número es coprime para el número de la clase $h_K$ de $K$, el $h_K \mediados de h_L$. La prueba de la siguiente manera por la observación de que la transferencia de los ideales de las clases $j: Cl(K) \longrightarrow Cl(L)$ compuesto con la relativa norma que se acaba de elevar a la $(L:K)$-th poder en el grupo clase, de $K$. Dado que el grado relativo en el ejemplo en cuestión es de $11$, esta observación se aplica aquí.

2. Mostrando que el número de la clase es de $1$ para $p < 23$ es difícil. Kummer demostrado que el anillo de enteros en el interior de la 5ª raíces de la unidad es la Euclídea, pero este método resulta imposible utilizar para $p > 7$. Kummer mostró que el número de clase es el producto de dos factores $h^-$ y $h^+$, y le dio una fórmula simple para $h^-$. Utilizando este resultado es fácil demostrar que $h^- = 1$ para $p < 23$. Demostrando que el factor $h^+$ es trivial, es mucho más difícil. Usted puede obtener una idea de la dificultad por la consultoría de Schoof cálculos en el apéndice de la 2ª edición de Washington del libro.

Answer 2

Seguramente no reiterando la historia, pero dando un semi-conceptual motivo para la no-PID-ness del 23 de cyclotomic campo: el campo $k=\mathbb Q(\sqrt{-23})$ número de clase 3, de la siguiente manera no muy de la mano de obra intensamente a partir de la clase fórmula de números complejos-cuadrática campos. Ahora nos otorgamos a nosotros mismos algo un poco serio, pero 100 años de edad, acerca de la "Hilbert classfield": es la máxima unramified abelian extensión de un campo de número ha Galois grupo isomorfo al ideal del grupo de clase. Por lo tanto, no es un unramified cúbicos abelian extensión $H$ de $k$. Desde el 23 de cyclotomic campo $F$ es de grado 11 más de $k$ (por ejemplo, por la suma de Gauss consideraciones), que cyclotomic campo no contiene $H$. Por lo tanto, la compositum $HF$ es unramified (por multiplicativity de la ramificación de los índices) cúbicos más de $F$. De nuevo por Hilbert-classfield resultado, esto implica que el número de clase de $F$ es divisible por $3$.

Answer 3

El fracaso en el 23 se demuestra aquí. Hay una larga discusión de factorización en cyclotomic campos en el Ultimo Teorema de Fermat: Una Genética Introducción a la Teoría Algebraica de números, por Harold M. Edwards. Este libro parece estar disponible gratuitamente en Google libros.