Dos monomorfismos diferentes de un anillo R en el mismo anillo S

Question

Me gustaría conocer el ejemplo más sencillo de dos monomorfismos de anillos unitales a partir de un anillo $R$ en un anillo $S$ para poder tener un ejemplo de diferentes copias del mismo anillo $R$ dentro del anillo mayor $S$ .

Answer 1

Encontrar dos inyecciones de $k[X]$ en $k[Y,Z]$ .

Answer 2

Dados dos anillos conmutativos $R, S$ el anillo universal conmutativo que admite morfismos tanto de $R$ y $S$ es su producto tensorial $R \otimes S$ (sobre $\mathbb{Z}$ ). Ajuste $R = S = \mathbb{Z}[x]$ el producto tensorial $\mathbb{Z}[x] \otimes \mathbb{Z}[x]$ es naturalmente isomorfo a $\mathbb{Z}[x, y]$ y esto da dos inyecciones $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}[x, y], \mathbb{Z}[y] \to \mathbb{Z}[x, y]$ . El ejemplo de Mariano es una generalización de este ejemplo a $k$ -álgebras.

Answer 3

Ya que ha pedido el ejemplo más sencillo, propongo $R=S=\mathbb Z[X]$ y los dos monomorfismos obtenidos enviando $X\mapsto X$ (el mapa de identidad) y $X\mapsto -X$ .