$\newcommand{\d}[1]{\underline{\mathrm{\large{#1}}}}$ $\color{#db6}{\d{On\ picking\ the\ right\ space\ for\ the\ right\ function}}$
La igualdad en la distribución se interpreta en términos de igualdad puntual para funciones en $C_c^{\infty}$ . El "espacio adecuado" para una función se elige viendo su papel en la ecuación resultante formulada para $C_c^\infty$ funciones, modificado convenientemente para facilitar el uso del lema de Lax-Milgram . Los cambios adecuados se realizan mediante la transferencia de derivados a elementos de $C_c^{\infty}$ . Sin embargo, nótese que la transferencia de la derivada debe hacerse , teniendo en cuenta que necesitamos una forma bilineal sobre un espacio $H$ . Así que la transferencia de la derivada se hace de tal manera que una forma bilineal es definible y podemos utilizar el lema de Lax-Milgram. Normalmente ese espacio $H$ es un espacio de Sobolev. Por tanto, la transferencia de derivadas se realiza (normalmente) de forma que obtengamos la misma cantidad de derivadas tanto en la función de prueba como en la función variable.
Pongamos un ejemplo para ilustrarlo. Supongamos que tenemos una función $f$ y querías encontrar un $u$ tal que $\Delta u = f$ . Digamos que todo esto es en un conjunto abierto acotado $\Omega$ y para las condiciones de contorno queremos $u = 0$ en $\partial \Omega$ . Clásicamente, usted exigiría que $f \in C(\Omega)$ y $u \in C^2(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$ .
Para la formulación débil : tendremos $\int_{\Omega} \phi \Delta u = \int_{\Omega} \phi f$ para todos $\phi \in C_c^{\infty}(\Omega)$ . Usando el teorema de Green (una integración por partes para dominios generales), puedes cambiar el RHS a $-\int_{\Omega} \nabla \phi \nabla u = \int_{\Omega} \phi f$ para todos $\phi \in C_c^{\infty}(\Omega)$ . Así que ahora hay un derivado en ambos $\phi$ y $u$ .
Nos detenemos ahora a pensar cómo sería Lax-Milgram : empecemos primero por $f$ . Solemos insistir en que $f \in L^2(\Omega)$ : esto casi nunca cambia por dos razones. Una es que no hay ningún derivado en $f$ por lo que no necesita ser restringida, y en segundo lugar , el lado derecho se convierte en una funcional continua sobre $C_c^\infty(\Omega)$ (continua con respecto a la topología que no ha discutido, así que no voy a entrar en por qué es continua), así que podemos extender usando la densidad a $H_0^1(\Omega)$ si lo necesitamos.
Y necesitamos : por continuidad, si $\int_{\Omega} \nabla u \nabla \phi = \int_{\Omega} f \phi$ para todos $\phi \in C_c^\infty(\Omega)$ entonces la densidad da que lo mismo vale para todo $\phi \in H_0^1(\Omega)$ . Pero ahora, $\phi \in H_0^1(\Omega)$ y necesitamos una forma bilineal que incluya $u$ y $\phi$ por lo que es natural tomar $u \in H_0^1(\Omega)$ para que la forma bilineal $B(f,g) = \int_{\Omega} \nabla f \nabla g$ está bien definida en $H_0^1(\Omega) \times H_0^1(\Omega)$ y podemos pensar en Lax-Milgram.
Tenga en cuenta que si $u \not \equiv 0$ en $\partial \Omega$ entonces no podemos tomar $u \in H_0^1(\Omega)$ porque una condición necesaria para ser miembro de $H_0^1(\Omega)$ es que debería desaparecer en la frontera, porque es un límite (puntual) de funciones que tienen soporte compacto y por tanto desaparecen en la frontera (esta afirmación en particular está realmente fuera de tu alcance, ya que no conoces la topología de $C_c^{\infty}(\Omega)$ . Tómelo al pie de la letra). Entonces no podemos utilizar el lema de Lax-Milgram. Tendríamos que usar otra cosa, pero lo más probable es que la forma bilineal en uso sea la misma.
Así es como elegimos nuestros espacios : asegúrate de que estamos transfiriendo derivadas para crear el mismo espacio de Sobolev en el que ambos $u$ y $\phi$ puede residir libremente, y entonces podremos pensar en Lax-Milgram.
$\color{blue}{\d{The\ first\ question}}$
En nuestro ejemplo ocurre más o menos lo mismo.
En efecto, obsérvese que queremos $-u'' = \delta_0$ . Tras la integración con las funciones de prueba, llegamos a : $$ \forall \phi \in C_c^\infty(-1,1) \quad ; \quad \int_{-1}^1 u'\phi' = \phi(0) $$
(Omito el $dx$ al final de la integral, para centrarse en el integrando. Esto es bastante común en EDP) Ahora , por densidad de $C_c^\infty$ obtenemos que lo mismo vale para $\phi \in H_0^1(\Omega)$ . Ahora, para que Lax-Milgram entre en juego, insistimos en $u \in H_0^1(\Omega)$ que no entra en conflicto porque $u(-1)=u(-1) = 0$ así que $u$ es $0$ en la frontera. (Véase el penúltimo párrafo de la sección anterior)
Nuestra forma bilineal es entonces, de forma bastante obvia $B(f,g) = \int_{-1}^1 f'g'$ y el $F \in (H_0^1(\Omega))^*$ vendrá dada por $F(\phi) = \phi(0)$ . Entonces podemos formular nuestra pregunta como : ¿existe un único $u \in H_0^1(-1,1)$ tal que $B(u,\phi) = F(\phi)$ para cada $\phi \in H_0^1(\Omega)$ ?
¡Estamos en territorio Lax-Milgram! Todo lo que necesitamos es que $B$ sea una forma bilineal, continua y coercitiva. No voy a explicar en detalle por qué ocurre esto : la continuidad se deduce puesto que $|B(u,v)| \leq \|u\|_{H_0^1} \|v\|_{H_0^1}$ (se deduce de la definición de la norma en $H_0^1$ ), y la coercitividad se deduce de la desigualdad de Poincare, de la que se obtiene que existe una constante $C>0$ tal que $B(u,u) \geq C\|u\|^2_{H_0^1}$ . Así, utilizando el lema de Lax-Milgram, se ve que a $u$ que satisface las condiciones dadas existe y es única.
EDITAR(SIN RIGOR) : Para encontrar $u'' = \delta_0$ necesitamos "integrar" $\delta_0$ dos veces, sin perder de vista las condiciones iniciales. Sea $v$ sea tal que $v(x) = v(-1) + \int_{-1}^x \delta_0(x)dx$ . Tenga en cuenta que $\int_{-1}^x \delta_0(x)dx = 0$ si $x<0$ y $1$ si $x \geq 0$ . Por lo tanto, obtenemos que $v(x) = v(-1)$ para $x<0$ y $v(-1)+1$ para $x \geq 0$ .
Por fin, $u(x) = u(-1) + \int_{-1}^x v(x)dx$ así que $u(x) = u(-1) + v(-1)(x + 1)$ para $x <0$ y $u(x) = u(-1) + v(-1) + xv(-1)+x$ para $x \geq 0$ . Debemos garantizar que $u(-1)=u(1)=0$ . A partir de ahí, establecer $x=1$ obtenemos $u(1) = 2v(-1) +1 = 0$ así que $v(-1) = \frac{-1}{2}$ .
Así, $u(x) = \frac{-(1+x)}{2}$ para $x<0$ y $\frac{x-1}{2}$ para $x \geq 0$ .
Así se resuelven los problemas usando el lema de Lax-Milgram. Adivinar soluciones requiere "intuición física" sobre cómo $\delta$ funciones están integradas.
$\color{red}{\d{The\ second\ question}}$
Aquí las cosas se ponen un poco más espesas en la fase de formulación débil : tenemos $$ \int_{-1}^1 [u'\phi' + cu\phi] = \phi(0) \tag{1} $$
para cada $\phi \in C_c^\infty(\mathbb R)$ . Ahora queremos aplicar Lax-Milgram, por lo que queremos asegurarnos de que $u$ y $\phi$ se eligen del mismo espacio por lo que podemos dejar que el LHS de la ecuación anterior sea una forma bilineal.
¿Qué es ese espacio de Hilbert? Al principio, es un cara o cruz entre $H_0^1(\mathbb R)$ y $H^1(\mathbb R)$ . Pero la cuestión es que $\mathbb R$ es ilimitado, por lo que no tiene límites. Por lo tanto, esperamos que $H_0^1(\mathbb R) = H^1(\mathbb R)$ es decir, que $C_c^\infty(\mathbb R)$ es de hecho denso en $H^1(\mathbb R)$ . ¡Este es un hecho notable que es cierto!
A partir de este hecho y de la continuidad, si la ecuación $(1)$ era cierto para todos $\phi \in C_c^\infty(\mathbb R)$ automáticamente es cierto para todos $\phi \in H^1(\mathbb R)$ . Entonces nos damos cuenta de que $u \in H^1(\mathbb R)$ también es el caso (una vez más, porque los dos únicos espacios posibles que podríamos tener son de hecho iguales entre sí, no hay duda sobre esto).
Por lo tanto, nuestro espacio de Hilbert aquí es $H^1(\mathbb R)$ en la que la forma bilineal $B(f,g) = \int_{-1}^1 [f'g' + cfg]$ está bien definido. A continuación definimos una función $F$ en $H^1(\mathbb R)$ por $F(h) = h(0)$ . Lax-Milgram se establece cuando replanteamos nuestro problema como : queremos un $u$ tal que $B(u,\phi) = F(\phi)$ para cada $\phi \in H^1(\mathbb R)$ .
Tenemos que comprobar que $B$ es continua y coercitiva. La continuidad es bastante clara a partir de los límites elementales. La coercitividad también está clara ya que $B(u,u) \geq c\|u\|^2_{H_0^1}$ y $c>0$ . Así Lax-Milgram nos dice que hay un único $u$ satisfacer las condiciones, y hemos terminado.
Podemos encontrar un $u$ que satisface la ecuación, utilizando claves del tratamiento clásico de la ecuación $u''+cu = f$ . Sin embargo, no quiero entrar en esto porque la prioridad del post era entender el uso del lema de Lax-Milgram y los distintos espacios de Sobolev en juego. Espero haber hecho algo de justicia.
