Integral de una gaussiana bivariante en el cuadrante positivo

Question

Estoy buscando una referencia (o una demostración algo sencilla) para el siguiente resultado, que por ejemplo Mathematica escupe sin demasiado esfuerzo. Aquí $a,b,c \in \mathbb{R}$ son constantes que cumplen $a, c < 0$ y $b^2 < 4 a c$ .

$$\int_0^{\infty}\int_0^{\infty} \exp(a x^2 + b x y + c y^2) \, dx \, dy = \frac{1}{2\sqrt{4ac-b^2}} \left(\pi + 2 \arctan\left(\frac{b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)\right).$$

Una idea que tuve fue escribir:

\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \exp(a x^2 + b x y + c y^2) \, dx \, dy &= 2 \int_0^{\infty}\int_0^{\infty} \exp(a x^2 + b x y + c y^2) \, dx \, dy \\ &+ 2 \int_0^{\infty}\int_0^{\infty} \exp(a x^2 - b x y + c y^2) \, dx \, dy \end{align}

La integral de la izquierda se puede calcular fácilmente, ya que corresponde a la probabilidad total de la distribución gaussiana bivariante correspondiente (menos los factores de escala), pero entonces me quedo atascado a la hora de resolver la otra integral con $(-b)$ sustituido por $b$ que parece igual de complicado de calcular y no es fácilmente relacionable con la integral original. Así que no estoy seguro de si este enfoque lleva a alguna parte.

Un enfoque más directo sería calcular ambas integrales explícitamente, una cada vez. Haciendo primero una integral, un humano puede comprobar sin demasiado esfuerzo que

$$\int_0^{\infty} \exp(a x^2 + b x y + c y^2) \, dx = \sqrt{\frac{\pi}{-4 a}} \cdot \exp\left(\frac{(4 a c -b^2) y^2}{a}\right) \left(\text{erf}\left(\frac{b y}{2 \sqrt{-a}}\right)+1\right).$$

Haciendo la segunda integral con $\exp(u y^2) (\text{erf}(v y) + 1)$ Sin embargo, no es tan sencillo y, por ejemplo, no he podido encontrar una referencia para calcular dichas integrales (y obtener una arctangente en el proceso) en el manual de Abramowitz y Stegun. Así que si alguien tiene una referencia para integrar $\exp(u y^2) \text{erf}(v y)$ en $y > 0$ para $u, v$ como en el caso anterior, también se agradecería.

Answer 1

Por supuesto, justo cuando me rendí y publiqué la pregunta, encontré una solución... Se basa en sustituir $y = x s$ (y $dy = x \, ds$ ) antes de calcular la integral sobre $x$ por lo que se simplifica enormemente y se obtiene una integral sobre $1/(a + bs + cs^2)$ lo que conduce a la solución arctangente.

\begin{align} \int_{y=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} \exp(a x^2 + b x y + c y^2) \, dx \, dy &= \int_{s=0}^{\infty} \left(\int_{0}^{\infty} \exp\left((a + bs + cs^2)x^2 \right) \, x \, dx\right) \, ds \\ &= \int_{0}^{\infty} \left[\frac{\exp\left((a + bs + cs^2) x^2\right)}{2 (a + bs + cs^2)}\right]_{x=0}^{\infty} \, ds \\ &= \int_{0}^{\infty} \left[0 - \frac{1}{2 (a + bs + cs^2)}\right] \, ds \\ &= \frac{-1}{2} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{a + bs + cs^2} \, ds \\ &= \frac{-1}{2} \left[\frac{2}{\sqrt{4 a c - b^2}} \, \arctan \left(\frac{2 a s + b}{\sqrt{4 a c - b^2}}\right)\right]_{s=0}^{\infty} \\ &= \frac{-1}{\sqrt{4 a c - b^2}} \left[-\frac{\pi}{2} - \arctan \left(\frac{b}{\sqrt{4 a c - b^2}}\right)\right]. \end{align}

Aquí utilizamos las condiciones previstas en $a, b, c$ varias veces. Por ejemplo, la tercera igualdad utiliza que $a + bs + cs^2 < 0$ para todos $s > 0$ .