¿Qué significa $p$ -¿Significa integral?

Question

Actualmente estoy estudiando Introducción a los campos ciclotómicos y en el Teorema 5.10 me encontré con el término $p$ -integral. ¿Qué significa esto?

Para dar un poco de contexto: Sea $n$ ser uniforme y positivo. Por el Teorema von Staudt - Clausen tenemos $$B_n + \sum_{(p - 1) \mid n} \frac{1}{p} \in \mathbf{Z}$$ donde $B_n$ es el $n$ -ésimo número de Bernoulli. Ahora el autor afirma que "en consecuencia $p B_n$ es $p$ -integral para todos $n$ y todos $p$ ".

Gracias.

Answer 1

En este contexto, es una propiedad de los números racionales. Un número racional es $p$ -integral si, cuando se escribe en términos más bajos, no hay factores de $p$ en el denominador.

Esta definición puede extenderse a otros anillos de enteros, y se entiende mejor a través del concepto de valoraciones. Si $K$ es un campo numérico algebraico y $\mathfrak{P}$ es un ideal primo en su anillo de enteros, entonces un elemento de $K$ es $\mathfrak{P}$ -integral si su $\mathfrak{P}$ -la valoración es no negativa.

Bonitos ejercicios:

Demuestre que una suma o producto de $p$ -integral de números racionales es de nuevo $p$ -integral.

Demuestre que si un número racional es $p$ -para todos los primos $p$ entonces es un número entero.

Answer 2

Un número racional $r$ se llama $p$ -integral si $ord_p(r)\ge 0$ . Por ejemplo $\frac{p^k}{k+1}$ es $p$ -para cualquier $k\ge 1$ . Es un lema que $pB_n$ es $p$ -para cada primo y cada entero $n$ . No necesitas el teorema de Staudt-Clausen para ello, normalmente es al revés, que usas el Lemma para la demostración de Staudt-Clausen.