Morfismo biyectivo $f: C \to \mathbb{P}^1$ ¿afín?

Question

Sea $C$ sea una curva propia integral sobre $k$ tal que $h^0(\mathcal{O}_C) := \dim_k H^0(C, \mathcal{O}_C) =1 $ y $h^1(\mathcal{O}_C) := \dim_k H^1(C, \mathcal{O}_C) =0 $ tiene

y tenemos un morfismo biyectivo $f: C \to \mathbb{P}^1$ .

Mi interés es demostrar que $f$ es un morfismo afín, por lo que si $U \subset \mathbb{P}^1$ afín abierto, entonces $f^{-1}(U) \subset C$ también es afín.

Supongo que esto podría seguirse del criterio de Serre para la afinidad:

Mis intentos: Deja $U \subset \mathbb{P}^1$ afín abierto, $\mathcal{F}$ entonces tenemos por definición $H^0(f^{-1}(U), \mathcal{F}) = H^0(U, f_* \mathcal{F})$ .

Aquí me encuentro con los siguientes problemas:

Es $f_*\mathcal{F}$ ¿Casi coherente? ¿Tiene $H^i(f^{-1}(U), \mathcal{F}) = H^i(U, f_* \mathcal{F})$ para $i >0$ ?

¿O hay que utilizar aquí el criterio de Serre de otra manera?

Answer 1

Si $C$ es cualquier curva integral sobre un campo y $U$ es cualquier conjunto abierto con $U\neq C$ entonces $U$ es afín.

Answer 2

Tenemos que $f$ es propio por cancelación (a saber $C \to k$ es adecuado y $\mathbb{P}^{1}_{k} \to k$ se separa). Así, el mapa subyacente de $f$ es un homeomorfismo (ya que es un mapa cerrado, continuo y biyectivo); en particular, la restricción $f^{-1}(U) \to U$ es un homeomorfismo. Por lo tanto $H^{i}(f^{-1}(U),\mathcal{F}) = H^{i}(U,f_{\ast}\mathcal{F})$ para $i \ge 0$ ya que la cohomología se calcula como una gavilla abeliana en el espacio topológico subyacente. El pushforward $f_{\ast}\mathcal{F}$ es casi coherente, ya que $f$ es un morfismo (trivialmente) cuasi compacto y cuasi separado.