Encuentre una transformación lineal que $T((1,-1, 1))=(1, 0)$ y $T((1,1, 1))=(0, 1)$

Question

¿Es posible encontrar una transformación lineal $T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ sólo sabiendo esto: $T((1,-1, 1))=(1, 0)$ y $T((1,1, 1))=(0, 1)$ ?

Answer 1

Esta transformación se define mediante 6 parámetros $a,b,c,d,e,f$ que obedecen: $$ a-b+c=1\\ d-e+f=0\\ a+b+c=0\\ d+e+f=1 $$ Hay 4 ecuaciones para 6 incógnitas, por lo que podemos, por ejemplo, resolverlo f0r $a,b,d,e$ : $$ a=\frac12-c\\ b=-\frac12\\ d=\frac12-f\\ e=\frac12 $$ Así $c,f$ se dejan como parámetros libres. La transformación $$T(x,y,z)=(v,w)$$ se define entonces por: $$ v=(\frac12-c)x -\frac12y+cz\\ w=(\frac12-f)x+\frac12y+fz $$