Mi pregunta se refiere al cálculo de las coordenadas de un punto en el espacio euclidiano tridimensional.
Tengo un punto P en tres dimensio coordenadas son desconocidas. Mi objetivo es calcular sus coordenadas dada la información proporcionada: Dados cuatro puntos llamados A, B, C, y D - cuyas coordenadas son conocidas - y sus respectivas Distancias Euclídeas al punto P denominadas AP, BP, CP y DP, respectivamente; no hay dos puntos dados son iguales y tampoco P es igual a ninguno de esos puntos. [ ] los cuatro puntos se distribuyen en las tres llanuras; para cada coordenada (X, Y y Z) es posible encontrar dos puntos que difieran en la coordenada respectiva. Por último, no debe ser posible formar una figura plana de cuatro lados con los cuatro puntos como vértices (véanse también los comentarios más abajo).
Ya he demostrado que es posible calcular exactamente un conjunto posible de coordenadas para el punto P: Imagina una esfera con el radio de AP y el punto A en su centro. Ahora imagina una esfera alrededor del punto B con el radio de BP. Las dos esferas crean un círculo donde se encuentran sus dos bordes; todos los puntos de este círculo tienen una distancia de AP a A y una distancia de BP a B. De nuevo, imagina una esfera en el punto C con un radio de CP. Esta esfera se cruza con dicho círculo exactamente en dos puntos. Por último, imagina una esfera alrededor del punto D con radio DP. Esta esfera interseca exactamente uno de dichos puntos; el punto intersecado es P.
He deducido un algoritmo para el siguiente caso especial del problema. Sean Ax, Ay y Az las coordenadas X, Y y Z de A, respectivamente. Además, que: las coordenadas de B sean (Ax, Ay, Bz) con algún valor para Bz que sea desigual a Az; las coordenadas de C sean (Ax, Cy, Az) con algún valor para Cy que sea desigual a Ay; las coordenadas de D sean (Dx, Ay, Az) con algún valor para Dx que sea desigual a Ax. En otras palabras, si la situación se representara utilizando los ejes de coordenadas, A estaría en su origen, B en el eje Z, C en el eje Y, y D en el eje X. Entonces sería posible construir un triángulo con los vértices A, P y uno de los puntos dados, ya que se conocen sus tres lados. Entonces, con el Teorema de Herón, es posible calcular la altura del triángulo. Hay más detalles del algoritmo, pero me los ahorraré porque complicarían la pregunta.
En definitiva, busco un algoritmo para determinar las coordenadas de P. Agradezco todas las respuestas, aunque sólo sugieran una idea para resolver mi problema. Si la respuesta propone un algoritmo para construir un caso especial como el descrito anteriormente, esta pregunta también quedaría respondida. No es difícil determinar las coordenadas de A', B', C', y D' que cumplen los requisitos impuestos del caso especial, el problema que tenía era averiguar sus distancias a P.
