No estoy muy familiarizado con (ni siquiera ejemplos sencillos de) orbifolds, así que mi primera pregunta es:
Sea $C_2$ sea $\mathbb{C}$ con una singularidad cónica en 0 de índice 2. ¿Cuál es el grupo fundamental de $C_2$ menos $k$ ¿puntos?
Mi respuesta ingenua es: toma $\mathbb{C}^*$ menos lo mismo $k$ puntos. Su grupo fundamental está generado libremente por el $k+1$ bucles alrededor de los pinchazos. Ahora decida que ya no tiene un "agujero" en 0, sino una singularidad cónica, lo que significa que los generadores correspondientes a un bucle alrededor de 0 son ahora de orden 2. Entonces diría que el grupo fundamental de $C_2$ menos $k$ puntos es $\langle a_0,\dots,a_k | a_0^2=1\rangle$ es decir $Z_2\ltimes F_{2k}$ donde $F_{2k}$ es generado por { $a_i,a_0a_ia_0, i\geq 1$ }.
Recordemos ahora la siguiente construcción: tomemos el grupo trenzado puro $P_n$ con sus generadores estándar $x_{i,j}, 1\leq i < j\leq n$ dada tomando la $j$ la hebra, dejándola pasar por detrás de todas las demás hebras, haz un bucle alrededor de la $i$ y volver. Entonces es bastante fácil ver que el subgrupo generado por el $x_{i,n}$ es libre: es el subgrupo de trenzas puras para el que todas las hebras, salvo la última, son rectas fijas. De hecho, conduce a una descomposición en producto semidirecto $P_n=P_{n-1}\ltimes F_{n-1}$ . Esta descomposición es en realidad un producto denominado "casi directo", lo que constituye un hecho bastante importante.
Esta construcción tiene una bonita interpretación geométrica: dejemos que $X_n$ sea el espacio de configuración de $n$ puntos en $\mathbb{C}$ y recuerda que $P_n=\pi_1(X_n)$ . A continuación, el mapa $X_n \rightarrow X_{n-1}$ que olvida la última coordenada es una fibración localmente trivial con fibra $\mathbb{C}$ menos $n-1$ puntos. Entonces induce una secuencia exacta corta (dividida) de grupos fundamentales
$$1\rightarrow F_{n-1} \rightarrow P_n \rightarrow P_{n-1}\rightarrow 1$$
Intentemos hacer algo parecido con el "grupo orbifold trenzado" de $C_2$ es decir, el grupo fundamental $P_n(C_2)$ de $O_n=$ { $z_1,\dots,z_n \in C_2, z_i \neq z_j$ }.
Me parece que $P_n(C_2)=P_{n+1}/ \langle x_{1,i}^2=1,i=2 \dots n+1 \rangle$ .
La construcción anterior parece funcionar "a nivel algebraico": dejemos que $G_n$ sea el subgrupo de $P_n(C_2)$ generadas por (las imágenes de) $x_{i,n+1}$ . Lo que se dice en este documento (en una forma ligeramente diferente) es que $P_n(C_2)=P_{n-1}(C_2) \ltimes G_n$ y que además es un producto casi directo.
Pero $G_n$ satisface algunas relaciones, por ejemplo $x_{i,n+1}$ y $x_{0,n+1}x_{i,n+1}x_{0,n+1}$ conmutan para un $i$ por lo que no es isomorfo al grupo fundamental de $C_2$ menos $n-1$ puntos (al menos si mi primer intento ingenuo no se equivoca). Aunque esta construcción se parece mucho y comparte muchas propiedades algebraicas con la construcción para $P_n$ no parece proceder de una construcción geométrica natural. Así que mi verdadera pregunta es:
¿Me equivoco? ¿Existe una interpretación natural de $G_n$ ?
Editar : Esto es a grandes rasgos lo que ocurre: suponiendo que $n=2$ para simplificar, no tiene sentido "congelar" la primera hebra (y su negativo) y hacer que la segunda haga un bucle porque se mantiene la siguiente relación:
empujando ahora el bucle rojo (visto como un bucle en el plano de 2 puntas) hacia el plano inferior, vemos que tiene que ser identificado con su conjugado por un bucle alrededor de las dos puntas a la vez, es decir, por el producto de los generadores de $F_2$ . Por lo tanto, este producto tiene que ser central, lo que lleva a la relación que se mantiene en $G_n$ arriba. Así que cabe preguntarse:
¿Existe un espacio topológico modelado en esta situación, es decir, que se parezca al "complementario en $\mathbb{C}\times[0,1]$ de dos filamentos módulo homotópico". O al menos, ¿hay alguna forma de demostrar que no hay más relaciones que declarar que el bucle grande es central?
