Creo que he encontrado una solución para esto para todos $\alpha$ para $\alpha$ racional y no un entero se obtiene un endomorfismo imposible de $\pi_1(\mathbb{C}^{\times})=\mathbb{Z}$ y para $\alpha$ irracional se puede demostrar que $z^\alpha$ induce básicamente el mismo mapa imposible que un $z^\frac{p}{q}$ cuando $\frac{p}{q}$ es una aproximación racional suficientemente buena de $\alpha$ . Sin embargo, me temo que me estoy perdiendo algo, porque el caso irracional me parece demasiado complicado para la hoja de ejercicios que me han dado. ¿Hay alguna solución mejor y más sencilla? Gracias
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Si $f: \Bbb C^\times \to \Bbb C$ es holomorfa y localmente $$ f(z) = z^\alpha = e^{\alpha \log z} $$ para alguna rama holomorfa del logaritmo entonces $$ \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{\alpha}{z} $$ para todos $z \in \Bbb C^\times$ . En particular, $$ \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{\alpha}{z} \, dz = \alpha $$ donde $\gamma(t) = e^{i t}$ para $0 \le t \le 2 \pi$ es una curva cerrada que rodea el origen una vez.
El lado izquierdo es el número de bobinado de $f \circ \gamma$ con respecto a cero, y que siempre es un número entero (véase por ejemplo Número de bobinado (demostración) ).
