¿Cómo se utilizan los operadores de aniquilación/creación para alcanzar un estado externo de $|0 \rangle$ en un $S$ -¿Matriz?

Question

Estoy tratando de entender cómo calcular el $S$ -elemento de matriz para $\phi \phi \to \phi \phi$ . En "Peskin and Schroeder's Ch. 4.6" . Me llevan a creer que, en $\phi^4$ teoría,

$$ S = \langle p_3 p_4 | N (-\frac{i\lambda}{4!})\int d^4 x \phi^4 (x)| p_1, p_2\rangle, \tag{4.92}$$

A continuación se indica:

"Dado que los estados externos son $|0\rangle$ (...) podemos utilizar un operador de aniquilación de $\phi(x)$ para aniquilar una partícula del estado inicial, o un operador de creación de $\phi(x)$ para producir una partícula de estado final. Por ejemplo:"

$$\phi(x)|p\rangle = e^{-ip\cdot x}| 0 \rangle , \hspace{5mm}\langle p| \phi(x) = \langle 0| e^{ip\cdot x}\tag{4.94}$$

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Intuitivamente, para simplificar el $(4.92)$ y alcanzar un estado externo de $|0 \rangle$ , He sustituido cada uno de los 4 $\phi(x)$ según $(4.94) $ pero no estoy seguro ya que tengo dos estados iniciales y dos finales en lugar del estado único presentado en $(4.94) $ .

Otra razón por la que creo que mi respuesta es incorrecta se debe a la necesidad de conmutaciones en el $\phi^4$ como se muestra en (4.95) en el enlace anterior.

Por lo tanto, mi respuesta sería:

$$ S = \langle 0| N (-\frac{i\lambda}{4!})\int d^4 x\ e^{i(p_3 +p_4)\cdot x} e^{-i(p_1 +p_2)\cdot x}| 0\rangle$$

¿Es correcta mi opinión?

Answer 1

Para que sea 100% correcto, en realidad debería utilizar la fórmula LSZ para conectar los estados asintóticos de entrada/salida con $n$ funciones de Greens de vacío puntuales de operadores totalmente interactuantes ordenados en el tiempo. A continuación, debe aplicar el teorema de Gell-Mann--Low para conectar el $n$ función de Greens de vacío puntual de los campos de interacción completa a una relación de funciones de Greens de vacío ordenadas en el tiempo de los campos de imagen de interacción. Por último, se expande el resultado en una serie de Dyson y se evalúa mediante contracciones de Wick.

Como un simple truco que funcionará en el orden principal, tenga en cuenta que en el orden principal $|\vec p\rangle_{in} = |\vec p\rangle = a^\dagger(\vec p)|0\rangle$ y similares para ${}_{out}\langle \vec q|$ . A continuación, basta con aplicar las relaciones de conmutación para los operadores de elevación y descenso; dependiendo de sus convenciones, algo así como $[a(\vec p),a^\dagger(\vec q)] = (2\pi)^m2E_{\vec p}\delta^{m}(\vec p - \vec q)$ para una teoría de campos en $m+1$ dimensiones del espaciotiempo. Recuerda utilizar los hechos que $a(\vec p)|0\rangle=0=\langle0|a^\dagger(\vec q)$ .