pruebe $\prod_{i=0}^{n}x-\frac{i}{n}\le\frac{n!}{4n^{n+1}}$ para cualquier $x\in[0,1]$ et $n>2$

Question

Pruebe $\prod_{i=0}^{n}x-\frac{i}{n}\le\frac{n!}{4n^{n+1}}$ para cualquier $x\in[0,1]$ y natural $n>2$ .

Intenté usar AM-GM pero no encontré nada interesante.

Yo estaba buscando también una serie Taylor. no hubo suerte

Answer 1

Sea $(\sigma_0,\ldots,\sigma_n)$ sea una permutación de $(0,\ldots,n)$ tal que $$|x-\tfrac{\sigma_0}{n}| \le |x-\tfrac{\sigma_1}{n}| \le \cdots \le |x-\tfrac{\sigma_{n-1}}{n}| \le |x-\tfrac{\sigma_n}{n}|.$$ En otras palabras, de los puntos $\{\tfrac{0}{n},\tfrac{1}{n},\ldots,\tfrac{n-1}{n},\tfrac{n}{n}\}$ , $\tfrac{\sigma_0}{n}$ es el más cercano a $x$ , $\tfrac{\sigma_1}{n}$ es el segundo más cercano a $x$ ..., y $\tfrac{\sigma_n}{n}$ es el más alejado de $x$ y los empates se deshacen arbitrariamente.

Si $x = \tfrac{k}{n}$ para algunos $k = 0,\ldots,n$ entonces $\prod_{i = 0}^{n}|x-\tfrac{i}{n}| = 0 \le \tfrac{n!}{4n^{n+1}}$ se cumple trivialmente.

Ahora, supongamos $x \in (\tfrac{k-1}{n},\tfrac{k}{n})$ para algunos $k = 1,\ldots,n$ . Entonces $\{\sigma_0,\sigma_1\} = \{k-1,k\}$ y así, $$\left|x-\tfrac{\sigma_0}{n}\right| \cdot \left|x-\tfrac{\sigma_1}{n}\right| = (x-\tfrac{k-1}{n})(\tfrac{k}{n}-x) \le \left(\dfrac{(x-\tfrac{k-1}{n})+(\tfrac{k}{n}-x)}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4n^2}.$$

Además, para $i = 2,\ldots,n$ tenemos $|x-\tfrac{\sigma_i}{n}| \le \tfrac{i}{n}$ desde al menos $i+1$ de los puntos $\{\tfrac{0}{n},\tfrac{1}{n},\ldots,\tfrac{n-1}{n},\tfrac{n}{n}\}$ están dentro $\tfrac{i}{n}$ del punto $x$ . Por lo tanto, $$\prod_{i = 0}^{n}|x-\tfrac{i}{n}| = \prod_{i = 0}^{n}|x-\tfrac{\sigma_i}{n}| = \left|x-\tfrac{\sigma_0}{n}\right| \cdot \left|x-\tfrac{\sigma_1}{n}\right| \cdot \prod_{i = 2}^{n}\left|x-\tfrac{\sigma_i}{n}\right| \le \dfrac{1}{4n^2}\prod_{i = 2}^{n}\dfrac{i}{n} = \dfrac{n!}{4n^{n+1}}.$$

Answer 2

Sea $f(x)=\prod_{i=0}^n\left|x-\frac{i}{n}\right|$ . Desde $f$ es continua en el intervalo compacto $[0,1]$ alcanza su máximo en $y\in[0,1]$ . En $f(x)=f(1-x)$ podemos suponer que WLOG $y\in[0,1/2]$ .

Si $y>1/n$ entonces $$f\left(y-\frac{1}{n}\right)=\left(1-\frac{1}{n}-y\right)\cdot\prod_{i=0}^{n-1}\left|y-\frac{1}{n}-\frac{i}{n}\right| > y\cdot\prod_{i=1}^n\left|y-\frac{i}{n}\right|=f(y).$$ Así que debemos tener $0\leq y\leq\frac{1}{n}$ . Luego por AM-GM, $y\left(\frac{1}{n}-y\right)\leq\frac{1}{4n^2}$ Así que $$f(y)=y\left(\frac{1}{n}-y\right)\cdot\prod_{i=2}\left(\frac{i}{n}-y\right)\leq\frac{1}{4n^2}\cdot\prod_{i=2}^n\frac{i}{n}=\frac{n!}{4n^{n+1}}.$$