Transformada de Laplace para $-t\cos(2t)$

Question

Este ejercicio de la transformada de Laplace me está dando dolor de cabeza. Estaba intentando utilizar la definición de la transformada de Laplace pero cuando hago el $u$ et $dv$ sustituciones para la integración por partes nunca encuentro la integral original, como en los otros ejercicios, y sólo entro en un bucle sin fin. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Lo más sencillo es escribir $\cos(2t) = \frac{e^{2it}+e^{-2it}}{2}$ y calcula $\int_0^\infty te^{-st\pm2it}dt$ utilizando la integración por partes.

Answer 2

Pista: la transformada de Laplace de una función $-tf(t)$ es la derivada de la transformada de Laplace de $f$ (digamos para funciones con crecimiento exponencial, como la suya).

Answer 3

Se puede observar que $$\int_0^\infty \cos(2t)e^{-st}dt =\Re\int_0^\infty e^{-(s+2i)t}dt=\Re\frac1{s+2i} =\frac{s}{s^2+4},$$ diferenciando con respecto a $s$ obtenemos

$$-\int_0^\infty t\cos(2t)e^{-st}dt =\frac{4-s^2}{\left(s^2+4\right)^2}.$$