Prueba $(A\rightarrow C)\land(C\rightarrow\neg B) \land B\rightarrow\neg A$ es válida sin utilizar tablas de verdad

Question

Acabo de terminar de demostrar un argumento sin utilizar tablas de verdad y me preguntaba si mi razonamiento es correcto.

El problema planteado era

Demostrar mediante una secuencia de pruebas que el argumento es válido (pista: la última A' debe deducirse). Justifica cada paso con un comentario.

$(A\rightarrow C)\land(C\rightarrow\neg B) \land B\rightarrow\neg A$

Tengo

1. A -> C dado
2. C -> B' dado
3. B dado
4. A -> B' silogismo hipotético de 1 y 2
5. (B')' -> A' contraposición de 4
6. B -> A' doble negación de 5
7. A' modus ponens de 6,3

Esta respuesta me parece correcta pero soy nuevo en la resolución de este tipo de problemas y se agradecería cualquier aportación.

Gracias.

Answer 1

En efecto, es un razonamiento lógico perfectamente correcto para demostrar su deseada tautología. Para ser completamente autocontenido, tal vez quieras añadir una línea final que diga que la implicación deseada es cierta, ya que has derivado el consecuente del antecedente.

Sin embargo, tenga en cuenta que si se le exige que trabaje en algún marco específico, como la deducción natural, es probable que su demostración no tenga el formato requerido, ya que en un momento dado sustituye $B''$ con $B$ que es ciertamente verdadera pero no permitida por las reglas típicas de la deducción natural, aunque es válida en el álgebra booleana.

Answer 2

$(A→C)\land (C→\overline{B})\land B→\overline{A}$

$=(A→C)\land (C→\overline{B})$

Utilizando Silogismo hipotético :

$=(A→\overline{B})\land B$

Utilizando Modus tollens :

$=\overline{A}$

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Forma alternativa:

$(A→C)\land (C→\overline{B})\land B→\overline{A}$

$=\overline{((\overline{A}\lor C)\land (\overline{C}\lor\overline{B})\land B)}\lor\overline{A}$

$=(\overline{(\overline{A}\lor C)}\lor\overline{(\overline{C}\lor \overline{B})}\lor \overline{B})\lor \overline{A}$

$=((\overline{\overline{A}}\land \overline{C})\lor(\overline{\overline{C}}\land\overline{\overline{B}})\lor\overline{B})\lor\overline{A}$

$=((A \land\overline{C})\lor(C \land B)\lor\overline{B})\lor\overline{A}$

$=(A \land\overline{C})\lor(C \land B)\lor\overline{B}\lor\overline{A}$

$=((A \land\overline{C})\lor\overline{A})\lor((C \land B)\lor\overline{B})$

$=((A \lor\overline{A})\land (\overline{C}\lor \overline{A}))\lor((C \lor\overline{B})\land(B\lor\overline{B}))$

$=(T\land (\overline{C}\lor \overline{A}))\lor((C \lor\overline{B})\land T)$

$=(\overline{C}\lor \overline{A})\lor(C \lor\overline{B})$

$=\overline{C}\lor \overline{A}\lor C \lor\overline{B}$

$=(\overline{C}\lor C) \lor (\overline{A} \lor\overline{B})$

$=T \lor (\overline{A} \lor\overline{B})$

$=T$

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