Un subconjunto $A$ de un espacio topológico $X$ se denomina conjunto Kuratowski 14 si exactamente 14 conjuntos diferentes (incluidos $A$ ) puede obtenerse a partir de $A$ tomando alternativamente cierres y complementos.
¿Hay ejemplos de conjuntos de 14 que tengan cardinalidad finita? En un espacio finito, hasta ahora lo mejor que puedo producir son 10 conjuntos a partir de un subconjunto de 3 elementos.
¿Cuál es la cardinalidad más pequeña posible de un conjunto 14?
Se trata del problema 1898 del último número (junio) de la revista Mathematics Magazine:
"Un subconjunto E de un espacio topológico X se denomina 'Kuratowski 14-conjunto' si se pueden obtener 14 conjuntos distintos aplicando repetidamente cierre y complemento a E en algún orden. Se sabe que Kuratowski 14-conjuntos E con |E| = 3 existen. ¿Existe alguno con |E| < 3?".
Las soluciones pueden enviarse por correo electrónico a mathmagproblems@csun.edu. La fecha límite de aceptación es el 1 de noviembre para su posible publicación en la revista.
Dado que se trata de un problema de publicación abierta, no puedo decir mucho sobre su solución. Yo fui quien lo propuso, así que tengo una prueba.
Como pequeña pista indirecta, diré al menos que el artículo de Herda y Metzler (mencionado en la respuesta de Gerry Myerson) es uno de los mejores lugares donde buscar ideas.
------------- post-deadline, respuesta completa añadida 6 Nov 2012 -------------
Aquí está mi prueba:
La respuesta es no. Deja que $cE$ denotan el complemento de $E$ , $iE$ el interior de $E$ y $kE$ el cierre de $E.$ Sea $K(E)$ denota la familia de conjuntos generada por $E$ en $k$ et $c.$ Desde $i = ckc$ et $k = cic$ , $K(E)$ es igual a la familia generada por $E$ en $i$ et $c.$ Es bien sabido que $$K(E)=\{E,iE,ciE,iciE,ciciE,iciciE,ciciciE,cE,icE,cicE,icicE,cicicE,icicicE,cicicicE\},$$ donde algunos de los conjuntos de la lista pueden ser iguales entre sí.
Supongamos que $E=\{a,b\}\subset X$ con $a\neq b.$ Reclamación $K(E)$ | $\leq12.$ Esto es evidente cuando $iE=E$ o $iE=\emptyset$ por lo que podemos suponer sin pérdida de generalidad que $iE=\{a\}.$ Tenga en cuenta que $a\in icicE$ ya que $iE\subset ikE=icicE.$
Supongamos que $b\in icicE.$ Entonces $E\subset icicE.$ Aplicación de $ic$ a ambos lados produce $icicicE\subset icE.$ La contención inversa siempre se cumple, por lo que $icicicE=icE.$ Ya que | $K(E)$ | es siempre par, la afirmación se deduce.
Supongamos que $b\not\in icicE.$ Supongamos que existe un punto $x$ tal que $x\in icicE\cap iciE.$ Desde $x\in icicE$ existe un conjunto abierto $U$ tal que $x\in U\subset cicE.$ Desde $x\in iciE$ existe un conjunto abierto $V$ tal que $x\in V\subset ciE\ (=X\setminus\{a\}).$ Desde $b\not\in icicE$ se deduce que $b\not\in U.$ Así $x\in U\cap V\subset cE$ lo que contradice $x\in cicE.$ Esta contradicción implica $icicE\subset ciciE.$ Aplicación de $i$ a ambos lados produce $icicE\subset iciciE.$ La contención inversa siempre se mantiene, por lo que $iciciE=icicE.$ Esto prueba la afirmación.
La afirmación implica obviamente que ningún singleton puede generar 14 conjuntos bajo cierre y complemento (ya que "clonar" su elemento produciría un 14-conjunto de cardinalidad 2). El conjunto semilla vacío genera sólo dos conjuntos. Por lo tanto, no existen 14 conjuntos de Kuratowski con cardinalidad inferior a 3.
Resulta que 12 sets son posibles cuando se empieza con un set de semillas de 2 puntos. Esto puede hacerse en un espacio de 6 puntos, siendo el número 6 mínimo por los resultados en Anusiak y Shum, Remarks on finite topological spaces, Colloq. Math. 23 (1971), 217-223, MR0326635 (48 #4978).
Últimamente he estado trabajando en un sitio web de referencia gratuito destinado a indexar todo lo que sea Kuratowski 14. Aunque el sitio está todavía en un estado muy inacabado, creo que tengo suficiente para hacer el lanzamiento dentro de menos de dos semanas. (Mencionaré aquí la URL inmediatamente después del lanzamiento).
Las principales atracciones de la página en su lanzamiento van a ser (a) un útil programa en C que genera familias de conjuntos bajo varias operaciones en varios espacios, (b) varias traducciones al inglés de artículos importantes (incluyendo el pionero de Kuratowski de 1922, originalmente en francés), y (c) referencias a algunos "nuevos" artículos antiguos que encontré durante una profunda búsqueda en Google y Bing.
Como antes, concluiré con una sugerencia a una pregunta. Esta vez la pregunta es "¿Cuál va a ser el título de mi página?". He aquí la pista: un gran aliciente para su inminente lanzamiento es su título aliterado, de temática festiva [norteamericana]. (Si adivinas algo, es casi seguro que aciertes...).
Hablaremos pronto.
------------- después del lanzamiento, nuevo enlace web añadido 14 Nov 2012 -------------
El título de mi página es Kuratowski's Closure-Complement Cornucopia. Aquí está el enlace:
Herda y Metzler, Closure and interior in finite topological spaces, Colloq. Math. 15 (1966) 211-216, MR0202101 (34 #1975) demuestran que se puede hacer con 7 puntos, y no con menos. El resultado también puede encontrarse en Berman y Jordan, The Kuratowski closure-complement problem, Amer. Math. Monthly 82 (1975), no. 8, 841-842, MR0388305 (52 #9142).
EDIT: El 7 se refiere al número de elementos de $X$ se dan ejemplos en los que el conjunto $A$ el conjunto 14 real, sólo tiene 3 elementos.
Como señalo en un comentario, estas preguntas me vinieron a la mente mientras hacía un ejercicio relacionado en "Topología" de Munkres. ¡Me alegra ver que es un problema de la Revista!
Daré aquí una respuesta parcial que no afecta al problema de la revista.
Declaración: Para cualquier $n\ge 3$ existe un espacio topológico finito que contiene un 14-conjunto de cardinalidad $n$ .
Prueba: Para $n\ge 4$ , dejemos que $m=n+3$ el conjunto de puntos $X=\{1,2,3,\ldots, m\}$ y $\mathcal{B}=\{\emptyset, X, \{1\}, \{6\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{5,6\}\}$ como base para la topología en $X$ . Entonces el subconjunto $A=\{1,3,5\}$ es un conjunto 14 de cardinalidad 3. Por lo tanto, $A'$ (el complemento de $A$ en $X$ ) es un 14-conjunto de cardinalidad $m-3=n$ según se desee.
Para $n=3$ , dejemos que $m=7$ en la configuración anterior y $A$ es el conjunto 14 deseado.
Además, podemos obtener 14 conjuntos de cualquier cardinalidad infinita deseada de la siguiente manera: Sea $Y$ sea un conjunto de cardinalidad $k\ge \aleph_{0}$ y que $X=\{1,2,3,4,5,6,7\}\cup Y$ con base para la topología $\mathcal{B}$ como antes. A continuación, el conjunto $A$ es un conjunto 14 de 3 elementos en $X$ y $A'$ es un conjunto 14 de cardinalidad $k$ . Por ejemplo, si $Y=\mathbb{N}$ entonces $A'$ es un conjunto 14 contablemente infinito.
Respuesta añadida el 18 de noviembre:
La cardinalidad más pequeña posible de un conjunto Kuratowski 14 $E$ es $3$ . Sea $k$ y $i$ denotan cierre e interior, respectivamente. Entonces $E$ es un conjunto Kuratowski 14 si $E$ , $E^{i}$ , $E^{iki}$ , $E^{ki}$ , $E^{ik}$ , $E^{kik}$ y $E^{k}$ son todos los conjuntos distintos no vacíos estrictamente contenidos en $X$ . Si $E$ está vacío la respuesta es trivial. Si $|E|=1$ entonces $E^{i}$ es igual a $E$ o está vacío. Si $E=\{a,b\}$ entonces podemos suponer que $E^{i}=\{a\}$ . Pero entonces $a\notin B=E^{ki}-E^{ik}$ que es un conjunto abierto contenido en $E^{k}$ por lo que debe intersecar $E$ de forma no trivial. Por lo tanto, $b\in B$ de lo que se obtiene $E^{kik}=E^{k}$ .
Observación: Desde un Kuratowski 14-set $E$ de cardinalidad 2 o inferior no existe, podemos preguntarnos cuál es el número máximo de conjuntos diferentes obtenibles a partir de $E$ tomando cierres y complementos.
Si $|E|=1$ tenemos dos posibilidades:
En primer lugar, si $E^{i}=E$ entonces $E^{ik}=E^{kik}=E^{k}$ et $E^{iki}=E^{ki}$ . Por lo tanto, a partir de $E$ tomando cierres y complementos. Este límite es posible si $|X|\ge 3$ . Por ejemplo, $X=\{1,2,3\}$ con base $\{\{3\},X\}$ et $E=\{1\}$ .
En segundo lugar, si $E^{i}=\emptyset$ entonces $E^{ik}=E^{iki}=\emptyset$ et $E^{kik}=E^{k}$ . Por lo tanto, como máximo $8$ se pueden obtener conjuntos distintos a partir de $E$ tomando cierres y complementos. Este límite es posible si $|X|\ge 4$ . Por ejemplo, $X=\{1,2,3,4\}$ con base $\{\{4\},\{1,2\},X\}$ et $E=\{1\}$ .
Si $E=\{a,b\}$ podemos suponer que $E^{i}=\{a\}$ . Pero entonces $a\notin B=E^{ki}-E^{ik}$ que es un conjunto abierto contenido en $E^{k}$ por lo que debe intersecar $E$ de forma no trivial. Por lo tanto, $b\in B$ de lo que se obtiene $E^{kik}=E^{k}$ . Por lo tanto, a partir de $E$ tomando cierres y complementos. Este límite es posible si $|X|\ge 6$ . Por ejemplo $X=\{1,2,3,4,5,6\}$ con base $\{\{1\},\{6\},\{1,2\},\{4,5\},X\}$ et $E=\{1,4\}$ .
Supongo que hay/había alguna demanda para que no se borrara esta respuesta. Oh bueno, aquí está sin borrar.
No hay conjuntos Kuratowski 14 de tamaño 2.
Supongamos que $A = \{ a , b \}$ es un conjunto Kuratowski 14 en algún espacio topológico $X$ . Obsérvese que, en particular, los siete conjuntos siguientes son distintos:
$A$ ;
$\overline{ A }$ ;
$\mathop{Int} ( A )$ ;
$\mathop{Int} ( \overline{ A } )$ ;
$\overline{ \mathop{Int} ( A ) }$ ;
$\overline{ \mathop{Int} ( \overline{ A } ) }$ y
$\mathop{Int} ( \overline{ \mathop{Int} ( A ) } )$ .
(Esto se debe a que $\mathop{Int} ( B ) = X \setminus \overline{ X \setminus B }$ para todos $B \subseteq X$ . De hecho, que estos siete conjuntos sean distintos equivale a $A$ siendo un Kuratowski 14-set -- ya que los otros siete son sólo los complementos de éstos -- pero eso es de poca importancia por el momento).
Tenga en cuenta que $\mathop{Int} ( A ) \subsetneqq A$ se deduce que $\mathop{Int} ( A )$ es uno de $\emptyset$ , $\{ a \}$ o $\{ b \}$ . Desde $\overline{ \mathop{Int} ( A ) } \neq \mathop{Int} ( A )$ se deduce que $\mathop{Int} ( A )$ debe ser no vacío, por lo que sin pérdida de generalidad podemos suponer que $\mathop{Int} ( A ) = \{ a \}$ .
Reclamación: $A \subseteq \mathop{Int} ( \overline{ A } )$ .
Prueba de la reclamación: Primero nota que, claramente, $\{ a \} = \mathop{Int} ( A ) \subseteq \mathop{Int} ( \overline{ A } )$ .
A continuación, observe que $\mathop{Int} ( \overline{ \mathop{Int} ( A ) } ) \subsetneqq \mathop{Int} ( \overline{ A } )$ . De ello se deduce que $U = \mathop{Int} ( \overline{ A } ) \setminus \overline{ \mathop{Int} ( A ) }$ es un conjunto abierto no vacío. (Claramente $U$ está abierto. Si $U = \emptyset$ entonces $\mathop{Int} ( \overline{ A } ) \subseteq \overline{ \mathop{Int} ( A ) }$ y así $\mathop{Int} ( \overline{ A } ) \subseteq \mathop{Int} ( \overline{ \mathop{Int} ( A ) } )$ contradiciendo el hecho anterior). Trivialmente, $U \subseteq \overline{ A } = \overline{ \{ a , b \} } = \overline{ \{ a \} } \cup \overline{ \{ b \} }$ pero es disjunta de $\overline{ \mathop{Int} ( A ) } = \overline{ \{ a \} }$ por lo que debe ser que $U \subseteq \overline{ \{ b \} }$ . Entonces $b \in U \subseteq \mathop{Int} ( \overline{ A } )$ $\dashv$
Obsérvese que ahora tenemos que $$\overline{ A } \subseteq \overline{ \mathop{Int} ( \overline{ A } ) } \subseteq \overline{ ( \overline{A} ) } = \overline{A},$$ contradiciendo nuestra suposición de que $A$ ¡es un Kuratowski 14-set!
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