Resolución de integrales mediante el teorema del residuo de Cauchy

Question

Necesito demostrar que la siguiente integral evalúa a

$$ I =\oint_{c}\frac{z^{1/2}}{1 + \,\sqrt{\, 2\,}\,z + z^{2}}\,\mathrm{d}z = 2^{3/2}\pi\mathrm{i}\sin\left(\frac{3 \pi}{8}\right) $$

Usando el Teorema del residuo de Cauchy, hay $c$ es el contorno del ojo de la cerradura y los cortes de las ramas se han elegido de forma que el número a en el plano complejo pueda escribirse como $r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ donde $-\pi < \theta < \pi$ .

Sé que necesito convertir la función dentro de la integral en una función de la forma

$$ \mathrm{f}\left(z\right) = \frac{\phi\left(z\right)} {\left(z - z_{0}\right)^{m}} $$

para que pueda averiguar dónde están los polos que luego me permite encontrar los residuos, pero estoy teniendo algunos problemas para masajear en el formato correcto.

¿Alguien tiene algún consejo o sugerencia?

Answer 1

La función $\frac{z^{1/2}}{z^2+\sqrt2 z+1}$ tiene un punto de bifurcación en $z=0$ y postes en $\frac{-\sqrt 2\pm i\sqrt{2}}{2}=e^{\pm i3\pi/4}$ . Por lo tanto, con $C$ como el contorno de ojo de cerradura clásico con el ojo de cerradura a lo largo del eje real negativo tenemos

$$\begin{align} \oint_C \frac{z^{1/2}}{z^2+\sqrt2 z+1}\,dz&=2\pi i \text{Res}\left(\frac{z^{1/2}}{z^2+\sqrt2 z+1}, z=\frac{-\sqrt 2\pm i\sqrt{2}}{2}\right)\\\\ &=2\pi i \left( \frac{e^{i3\pi/8}}{2i\sin(3\pi/4)}+\frac{e^{-i3\pi/8}}{-2i\sin(3\pi/4)}\right)\\\\ &=2\pi i \frac{\sin(3\pi/8)}{\sin(3\pi/4)}\\\\ &=2^{3/2}\pi i \sin(3\pi/8) \end{align}$$

como se iba a demostrar.