Una pregunta sobre combinatoria: si $p + q + r = 10$ halla el número de combinaciones posibles en las que la condición se cumple.

Question

Si $ p + q + r = 10 $ hallar el número de combinaciones posibles que satisfacen la ecuación. ( $p,q,r 0$ )

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PS - Como sugiere Brian Moehring Utilicé el botón ' estrellas y barras '.

Necesitamos la suma como $10$ . Tenemos que añadir $1$ diez veces, para obtener 10. Si sumamos dos barras, es decir, las dividimos en p, q y r. Entonces ahora en total hay $10 \ 1's$ et $2$ bares. Tenemos que encontrar el número de maneras de organizar esos $2$ bares en $12$ lugares. Por lo tanto, hay $\binom{12}{2}$ formas de seleccionar $p,\ q$ y $r$ para satisfacer la ecuación.

Answer 1

En Teorema de las barras y estrellas Proporcionar esta fórmula que podemos utilizar aquí:

$$\binom {n+k-1}{n}=\binom {n+k-1}{k-1}$$

Utilizando $n=10,k=3$

$$\binom {10+3-1}{3-1}=\binom {12}{2}=66$$

Answer 2

Hagamos esto: $$p+q+r=10 \Longrightarrow (p+1)+(q+1)+(r+1)=13$$ $$\left\{\begin{array}{c}p'=p+1>0 \\ q'=q+1>0 \\ r'=r+1>0 \\ \end{array}\right\}\Longrightarrow p'+q'+r'=1+...+1$$ Que en el lado derecho de la última ecuación tenemos $13$ unos. Como las nuevas variables son positivas, cualquier solución es equivalente a elegir $2$ número de $+$ en el lado derecho como candidato para que tengamos en el lado izquierdo entre variables. Así que el número de solución es: $$\binom{12}{2}=66$$