$\lim_{n \to \infty}(8n-\frac{1}{n})^\frac{(-1)^n}{n^2}$

Question

$\lim_{n \to \infty}(8n-\frac{1}{n})^\frac{(-1)^n}{n^2}$

Así es como lo resolví:

$\lim_{n \to \infty}(8n-\frac{1}{n})^\frac{(-1)^n}{n^2}$ = $\lim_{n \to \infty}{((8n-\frac{1}{n})^\frac{1}{n})}^\frac{(-1)^n}{n}$ = $[\lim_{n \to \infty}{(n^{\frac{1}{n}})]^\frac{(-1)^n}{n}[\lim_{n \to \infty}(8-\frac{1}{n^2})^\frac{1}{n}]}^\frac{(-1)^n}{n}$ = $[\lim_{n \to \infty}(8^\frac{1}{n})]^\frac{(-1)^n}{n}$ = $1$

¿Es correcto este método? La respuesta correcta a este problema es $1$ pero no sé si lo he resuelto de la manera correcta. Además, si hay un método mejor para resolverlo, por favor hágamelo saber.
Gracias

Answer 1

Sí, es cierto que el límite es $1$ En efecto, para $n$ incluso

$$\left(8n-1\right)^\frac{1}{n^2}\le \left(8n-\frac{1}{n}\right)^\frac{1}{n^2}\le \left(8n\right)^\frac{1}{n^2}$$

y para $n$ impar

$$ \left(8n\right)^\frac{-1}{n^2}\le \left(8n-\frac{1}{n}\right)^\frac{-1}{n^2}\le \left(8n-1\right)^\frac{-1}{n^2}$$

entonces por el teorema de squeeze $\left(8n-\frac{1}{n}\right)^\frac{(-1)^n}{n^2}\to 1$ .