Bien Principio de Ordenación para una suma y ¿por qué sólo nos importa el conjunto menor que el menor en nuestro conjunto de contraejemplo?

Question

Intentaba demostrarlo:

$$ \sum_{i=1}^n{i} = \frac{n(n+1)}{2}$$

utilizando el WOP.

Creo que la parte que me confunde de esta prueba es un patrón más general para las pruebas por WOP.

Para demostrarlo decimos que existe un conjunto de contraejemplos:

$$C = \{ n \in \mathbb{N} \mid \sum_{i=1}^n{i} \neq \frac{n(n+1)}{2} \} $$

Así que sabemos que la afirmación es falsa para el elemento más pequeño, digamos c, $n = c$ pero la afirmación es cierta para $n<c$ . Mi pregunta es muy sencilla. ¿Por qué nos centramos en la verdad que tiene para $n<c$ pero descuidamos/ignoramos otros elementos que podrían hacer que la suma fuera cierta? es decir, ¿por qué no afirmamos en su lugar que la suma (es decir. $\sum_{i=1}^n{i} = \frac{n(n+1)}{2}$ ) es Verdadero para:

$$T = \{ (n<c) \cup n \notin C\}$$

es decir, incluir no sólo $n < c$ ?

¿Afecta esa omisión a la prueba o es que declarar sólo el conjunto $n<c$ una forma de restringir nuestra atención al conjunto que importa para llegar a la contradicción?

Answer 1

Permítanme empezar diciendo que no suponer que la afirmación es cierta para todos los valores $n$ tal que $c < n$ . Creo que te has expresado mal al escribir eso.

Su última frase es correcta. Suponemos que la afirmación es cierta para todos $n < c$ y debemos deducir de ello que también es cierto para $c$ de ahí la contradicción.

La razón por la que no hablamos de los otros valores $n > c$ para los que la afirmación es cierta, es que sabemos poco sobre ellos. Nuestra única suposición es que $c$ es el valor más pequeño para el que la afirmación es falsa. Este hace nos permiten concluir que la afirmación es cierta para valores $n < c$ pero normalmente no nos permite decir nada sobre los valores $n > c$ .

En casos concretos, puede ser posible deducir algo sobre los valores $n > c$ a partir del supuesto de que $c$ es el número más pequeño para el que la afirmación es falsa, y cualquier método de derivar una contradicción servirá. Pero esto no es así en general.

Answer 2

Esto es básicamente el contrapositivo de la inducción. Supones que el conjunto de casos en los que falla la fórmula tiene un elemento más pequeño, $c$ . Esto le indica que la fórmula funciona para todos los valores más pequeños, en particular para $c-1$ Por tanto, si la fórmula es cierta para $c-1$ se deriva el hecho de que es cierto para $c$ contradiciendo la suposición. Ten en cuenta que tienes que demostrar la fórmula para un caso base, o podría ser falsa para todos $n$ . Así que su prueba sería:
Verdadero para $n=1$ porque $\sum_{i=1}^1 i =1 = \frac {1(1+1)}2$
Supongamos que el primer fallo es $c$ entonces la fórmula es cierta para $c-1$ así que
$\sum_{i=1}^{c-1} i =\frac {c(c-1)}2$
Ahora añade $c$ a ambos lados y demostrar que se cumple la nueva fórmula, por lo que $c$ no es un fracaso.

Answer 3

Lo que quieres hacer es demostrar que $C$ es en realidad igual al conjunto vacío.

Empiezas asumiendo que $C$ no es el conjunto vacío.

En este momento, no tenemos ni idea de qué números están en $C$ y cuáles no. Podemos descubrir, por ejemplo, que $10 \not \in C$ . Pero eso no nos dice nada sobre si $5 \in C$ o $50 \in C$ .

Entonces debe tener un elemento más pequeño, digamos $c \in C$ .

¿Qué nos dice eso? Digamos que $c = 5$ . Entonces todavía no sabemos si $50 \in C$ es cierto o no, pero ahora sabemos, dentro de los límites de nuestra suposición, que $4 \not \in C$ .

Desde $\sum_{i=1}^1{i} = 1 = \frac{1(1+1)}{2}$ sabemos que $c \ne 1$ .

Lo importante del número $1$ es que es el miembro más pequeño de $\mathbb N$ . Por lo tanto, puesto que $c \ne 1$ entonces $c-1$ también es miembro de $\mathbb N$ . Así que $c-1 \in \mathbb N$ y $c-1 < c$ . Desde $c$ es el miembro más pequeño de $C$ entonces $c-1 \not \in C$ .

Así que $c-1 \in \mathbb N$ pero $c-1 \not \in C$ .

Ahora estamos listos para crear una contradicción. Demostraremos que $c-1 \not \in C$ implica $c \not \in C$ .

Pero $c-1 \not \in C$ implica $\sum_{i=1}^{c-1}{i} = \frac{(c-1)(c-1+1)}{2}$ implica $\sum_{i=1}^{c}{i} = \frac{(c)(c+1)}{2}$ .

Pero entonces, $c \not \in C$ . Lo cual es una contradicción.

Así que nuestra suposición de que $C$ no es igual al conjunto vacío debe ser falso.

Así que, de hecho, $C = \varnothing$ .

En otras palabras, $\sum_{i=1}^{n}{i} = \frac{(n)(n+1)}{2}$ es cierto para todos $n \in \mathbb N$ .