Impacto del tamaño de la muestra en la covarianza de la muestra

Question

A partir de la fórmula de la covarianza muestral, vemos

$$\operatorname{Cov}(X,Y) = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$

donde $\bar{x}, \bar{y}$ son las medias muestrales. Parece que el tamaño de la muestra $m$ influirá en el resultado final. ¿Es cierta la intuición?

Answer 1

Recuerde que si aumenta el número de puntos de datos, entonces necesitará nuevos puntos de datos reales para que tengas más $x_i$ y $y_i$ valores. Esto significa que el valor $m$ en tu fórmula cambiará, pero ahora también tendrás términos adicionales en tu suma, así que eso también cambiará. Así que sí, la covarianza de la muestra cambiará a medida que obtenga más valores (excepto en casos muy inusuales) porque está utilizando un conjunto de datos diferente .

Suponiendo que las secuencias $(X_1,Y_1), (X_2,Y_2), (X_3,Y_3), ...$ son intercambiables, ya que $m \rightarrow \infty$ la covarianza de la muestra convergerá a la verdadera covarianza entre los pares de valores. Por lo tanto, en este caso, por lo general se espera que a medida que $m$ la covarianza de la muestra empezará a ser más estable (es decir, cambiará menos) y convergerá hacia un valor fijo.

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Nota adicional: Es habitual que la covarianza muestral se defina con la incorporación de Corrección de Bessel (es decir, utilizando $m-1$ en el denominador en lugar de $m$ ). Esto se hace para garantizar que la covarianza de la muestra es un estimador insesgado de la covarianza real.